Integrale della secante

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Ciao ragazzi mi dite qual è l'integrale della secante e qual è il procedimento per calcolare l'integrale di sec(x)? Non so nemmeno da dove cominciare, anche partendo con la definizione non arrivo da nessuna parte. Grazie in anticipo!

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • L'integrale della secante si calcola in modo del tutto simile rispetto all'integrale della cosecante. Anche in questo caso ricorreremo ad uno stratagemma algebrico. Partiamo dall'integrale

    ∫sec(x)dx

    e moltiplichiamo e deriviamo l'integranda per la somma della tangente più la secante

    ∫sec(x)(tan(x)+sec(x))/(tan(x)+sec(x))dx

    Integriamo per sostituzione ponendo

    y = tan(x)+sec(x)

    e, invece di determinare la trasformazione inversa, differenziamo entrambi i membri

    dy = (d)/(dx) [tan(x)+sec(x)] dx

    Dando per note la derivata della tangente e la derivata della secante (vedi derivate notevoli), otteniamo

    dy = (sec^2(x)+tan(x)sec(x)) dx

    per cui possiamo sostituire il numeratore dell'integrale con dy e il denominatore con y

    ∫(dy)/(y)

    quello che abbiamo appena scritto è un integrale elementare

    ∫(dy)/(y) = ln(|y|)+c

    Ora dobbiamo solo effettuare la sostituzione scritta inizialmente. Fine. L'integrale della secante di x è:

    ∫sec(x)dx = ln|tan(x)+sec(x)|+c

    Potrebbe interessarti: tabella degli integrali fondamentali - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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