Soluzioni
  • L'integrale della secante si calcola in modo del tutto simile rispetto all'integrale della cosecante. Anche in questo caso ricorreremo ad uno stratagemma algebrico. Partiamo dall'integrale

    \int{\sec{(x)}dx}

    e moltiplichiamo e deriviamo l'integranda per la somma della tangente più la secante

    \int{\sec{(x)}\frac{\tan{(x)}+\sec{(x)}}{\tan{(x)}+\sec{(x)}}dx}

    Integriamo per sostituzione ponendo

    y=\tan{(x)}+\sec{(x)}

    e, invece di determinare la trasformazione inversa, differenziamo entrambi i membri

    dy=\frac{d}{dx}\ [\tan{(x)}+\sec{(x)}] dx

    Dando per note la derivata della tangente e la derivata della secante (vedi derivate notevoli), otteniamo

    dy=(\sec^2{(x)}+\tan{(x)}\sec{(x)}) dx

    per cui possiamo sostituire il numeratore dell'integrale con dy e il denominatore con y

    \int{\frac{dy}{y}}

    quello che abbiamo appena scritto è un integrale elementare

    \int{\frac{dy}{y}}=\ln{|y|}+c

    Ora dobbiamo solo effettuare la sostituzione scritta inizialmente. Fine. L'integrale della secante di x è:

    \int{\sec{(x)}dx}=\ln|\tan(x)+\sec(x)|+c

    Potrebbe interessarti: tabella degli integrali fondamentali - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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