Successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci è una successione di numeri naturali definita ricorsivamente, in cui i primi due termini sono 1 e 1 e tutti gli altri si ottengono dalla somma dei precedenti due. In formule:

Attenendoci alla definizione possiamo ricavarne i termini, così da formare una sequenza numerica:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

Non a caso la successione di Fibonacci è anche conosciuta nella letteratura matematica coi nomi di sequenza di Fibonacci o serie di Fibonacci.

Com'è nata la successione di Fibonacci

La successione di Fibonacci deve il proprio nome al matematico Leonardo Fibonacci, che la individuò per caso nell'anno 1202 mentre era intento a studiare l'andamento della crescita di una popolazione di conigli.

Partendo da una sola coppia, e sapendo che ogni coppia di conigli diventa fertile dopo un mese dalla nascita e genera una nuova coppia, quante saranno le coppie di conigli nei mesi successivi?

- Si parte da 1 coppia di conigli;

- dopo un mese c'è ancora 1 coppia;

- il mese successivo le coppie diventano 2, di cui quella iniziale (già fertile) e la coppia da essa generata (ancora non fertile);

- dopo tre mesi le coppie sono 3: le due già presenti il mese precedente (ora entrambe fertili) e una nuova coppia (non fertile) generata dalla coppia iniziale;

- il mese successivo le coppie sono 5: le tre del mese precedente più due nuove coppie, date alla luce dalle coppie fertili del mese precedente;

- dopo cinque mesi le coppie sono 8, poi 13, ... e così via.

Elencando il numero di coppie di conigli di ogni mese uno dopo l'altro si ottiene la successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Fino al XIX secolo non si diede alcuna importanza a questa successione, e fino ad allora Fibonacci veniva ricordato per la sua opera Liber Abbaci con cui contribuì all'introduzione dei numeri arabi in Europa.

Successivamente si scoprì il legame tra successione di Fibonacci e sezione aurea e si osservò che molti fenomeni naturali potevano essere descritti mediante i suoi termini. Da quel momento in poi la sequenza fu studiata in lungo e in largo in modo da scoprirne tutte le proprietà, alcune delle quali però non sono ancora state dimostrate.

Successione di Fibonacci in natura

1) In quasi tutti i fiori il numero dei petali è un termine della successione di Fibonacci. Ne sono un esempio gigli e iris (tre petali), ranuncoli, rose canine, plumeria (5 petali) e alcune margherite (8 o 13 petali).

2) Come nel caso dei girasoli, i pistilli sulle corolle dei fiori sono spesso disposti secondo uno schema preciso, formato da spirali il cui numero corrisponde a un numero della successione di Fibonacci.

3) Sui rami degli alberi le foglie non hanno una collocazione casuale, ma sono disposte in modo da non farsi ombra l'una con l'altra e quindi ricevere la luce del sole in modo uniforme. Prendendo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contando il numero di foglie che ci sono fino a quella perfettamente allineata con la prima, si ottiene un numero di Fibonacci.

Proprietà della successione di Fibonacci

1) Gli unici termini della successione di Fibonacci a essere quadrati perfetti sono: .

2) Il massimo comun divisore tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci è 1, ossia due numeri consecutivi della successione sono numeri primi tra loro.

3) Se con è un numero primo, allora anche è un numero primo.

4) Se è un divisore di allora divide , ma il viceversa non è vero.

5) Se sono due termini qualsiasi della successione, il loro massimo comun divisore corrisponde al termine la cui posizione è il massimo comun divisore tra . In formule:

6) Ogni numero della successione di Fibonacci può essere calcolato mediante la seguente somma di coefficienti binomiali

7) Nel triangolo di Tartaglia la somma dei numeri delle diagonali restituisce i termini della successione di Fibonacci.

8) Al crescere di il rapporto tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssima sempre meglio il numero aureo. In termini matematici possiamo esprimere tale proprietà scrivendo il seguente limite:

9) Affiancando in successione tanti quadrati, ognuno avente per lato un termine della successione di Fibonacci, si ottiene un rettangolo aureo.

10) Partendo dalla successione di Fibonacci e con l'aiuto di riga e compasso si può disegnare una spirale che approssima molto bene la spirale aurea.