Soluzioni
  • Se vuoi calcolare rapidamente la derivata di una radice qualsiasi di x (dunque non solo di una radice quadrata) basta ricordare la definizione di radicale ed esprimere la radice come una potenza ad esponente razionale

    \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}

    nel caso della radice quadrata di x:

    \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}

    dunque possiamo calcolare la derivata di una radice semplicemente applicando la formula della derivata di una potenza (vedi formule per le derivate)

    \frac{d}{dx}\ x^s=sx^{s-1}

    che vale per ogni numero reale s:

    \frac{d}{dx}\ \sqrt{x}=\frac{d}{dx}\ x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

    In sintesi

    \frac{d}{dx}\ \sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

    Per la derivata di una generica radice, invece

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{x^m}=\frac{d}{dx}\ x^{\frac{m}{n}}=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=\frac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}}

    ossia

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{x^m}=\frac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}}

    Per concludere possiamo vedere come calcolare la derivata della radice di una funzione

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{[f(x)]^m}=

    si tratta solo di applicare il teorema per le derivate di funzioni composte: riscriviamo la radice come potenza

    =\frac{d}{dx}\ [f(x)]^{\frac{m}{n}}=

    e applichiamo il teorema

    =\frac{m}{n}[f(x)]^{\frac{m}{n}-1}\cdot \frac{d}{dx}\ f(x)=\frac{m}{n}[f(x)]^{\frac{m-n}{n}}\cdot f'(x)=\frac{m}{n}\sqrt[n]{[f(x)]^{m-n}}\cdot f'(x)

    cioè

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{[f(x)]^m}=\frac{m}{n}\sqrt[n]{[f(x)]^{m-n}}\cdot f'(x)

    È tutto! In caso di necessità, ecco il link per il tool di calcolo delle derivate online. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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