Soluzioni
  • Per calcolare la derivata di una radice qualsiasi di x, dunque non solo la derivata di una radice quadrata, basta ricordare la definizione di radicale ed esprimere la radice come una potenza con esponente razionale

    \sqrt[n]{x^m} = x^{\tfrac{m}{n}}

    Ad esempio, nel caso della radice quadrata possiamo scrivere

    \sqrt{x} = x^{ \frac{1}{2}}

    mentre per la radice cubica possiamo scrivere

    \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

    Con queste premesse, per calcolare la derivata di una radice basta applicare la formula della derivata di una potenza (cfr formule per le derivate)

    \frac{d}{dx}\ x^s = sx^{s-1}\ \ \ \forall s\in\mathbb{R}

    che vale per ogni numero reale s.

    Vediamo alcuni esempi di applicazione della formula.

    Derivata della radice quadrata di x

    \frac{d}{dx}\ \sqrt{x}=\frac{d}{dx}\ x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}

    In sintesi

    \frac{d}{dx}\ \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

    Derivata della radice cubica di x

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[3]{x}=\frac{d}{dx}\ x^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\\ \\ \\ =\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

    E dunque

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}

    Derivata della radice n-esima di x^m

    Per quanto riguarda il caso generale:

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{x^m}=\frac{d}{dx}\ x^{\tfrac{m}{n}}=\\ \\ \\ =\frac{m}{n}x^{\tfrac{m}{n}-1}=\frac{m}{n}x^{\tfrac{m-n}{n}}

    ossia

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{x^m} = \frac{m}{n}\sqrt[n]{x^{m-n}}

    Derivata della radice n-esima della potenza intera di una funzione

    Per concludere vediamo come calcolare la derivata della radice di una funzione

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{[f(x)]^m} =

    In tal caso si tratta di applicare il teorema per le derivate di funzioni composte. Riscriviamo la radice come potenza

    =\frac{d}{dx}\ [f(x)]^{\tfrac{m}{n}} =

    e applichiamo il teorema

    =\frac{m}{n}[f(x)]^{\tfrac{m}{n}-1}\cdot \frac{d}{dx}\ f(x)=\\ \\ \\ =\frac{m}{n}[f(x)]^{\tfrac{m-n}{n}}\cdot f'(x)=\frac{m}{n}\sqrt[n]{[f(x)]^{m-n}}\cdot f'(x)

    da cui

    \frac{d}{dx}\ \sqrt[n]{[f(x)]^m} = \frac{m}{n}\sqrt[n]{[f(x)]^{m-n}}\cdot f'(x)

    ***

    È tutto! In caso di necessità, ecco il link per il tool di calcolo delle derivate online. ;)

    Risposta di Omega
 
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