Soluzioni
  • Se per te va bene mi occuperei direttamente dell'integrale di una radice qualsiasi f(x)=\sqrt[m]{x^n}, così poi potrai dedurre il procedimento per calcolare l'integrale della radice di x g(x)=\sqrt{x}. Volendo calcolare l'integrale

    \int{\sqrt[m]{x^n}dx}

    dobbiamo cercare una primitiva F(x), vale a dire una funzione la cui derivata prima coincida con f(x)=\sqrt[m]{x^n}

    F(x)=?\ \to\ F'(x)=\sqrt[m]{x^n}

    Innanzitutto ci conviene riscrivere la radice m-esima di x^n sotto forma di potenza

    \sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}

    Ora dobbiamo fare un piccolissimo sforzo. Ci ricordiamo le derivate fondamentali? Se sì, sappiamo che

    \frac{d}{dx}\ x^s=sx^{s-1}

    Per calcolare l'integrale della radice f(x)=x^{\frac{n}{m}} dobbiamo fare proprio il ragionamento opposto. Dato che nella derivazione "perdiamo" un esponente, nell'integrazione dovremo "guadagnarlo"

    x^{\frac{n}{m}}\ \to\ x^{\frac{n}{m}+1}

    Non basta: per capire come comportarci con il coefficiente, proviamo a derivare la presunta primitiva

    \frac{d}{dx}\ x^{\frac{n}{m}+1}=\left(\frac{n}{m}+1\right)x^{\frac{n}{m}}

    Se trattiamo la precedente uguaglianza come un'equazione, possiamo spostare il coefficiente del membro di destra a sinistra(***)

    \frac{1}{\left(\frac{n}{m}+1\right)}\frac{d}{dx}\ x^{\frac{n}{m}+1}=x^{\frac{n}{m}}

    e grazie ad una nota regola di derivazione possiamo portare il coefficiente dentro la derivata

    \frac{d}{dx}\ \frac{1}{\left(\frac{n}{m}+1\right)}x^{\frac{n}{m}+1}=x^{\frac{n}{m}}

    Abbiamo finito: abbiamo trovato una funzione la cui derivata coincide con l'integranda! L'integrale di una radice qualsiasi di x è dato da

    \int{\sqrt[m]{x^n}dx}=\frac{x^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}+c

    dove c è la solita costante additiva che descrive le funzioni della famiglia di primitive.

    (***)Nota che la precedente formula vale a patto che n/m\neq -1. In tal caso ci ritroviamo di fronte ad un integrale che non ha a che fare con le radici, ma che riporto per completezza:

    \int{\frac{1}{x}dx}

    e in questo caso trovare una primitiva è ancor più immediato

    \int{\frac{1}{x}dx}=\log{|x|}+c

    ---

    Nel caso dell'integrale della radice di una funzione, vale la formula

    \int{\sqrt[m]{[f(x)]^n}\cdot f'(x)dx}=\begin{cases}\frac{x^{\frac{n}{m}+1}}{\frac{n}{m}+1}+c\mbox{ se }\frac{n}{m}\neq -1\\ \log{|f(x)|}+c\mbox{ se }\frac{n}{m}=-1\mbox{ non ha a che fare con le radici}\end{cases}

    ---

    Lettura consigliata: integrali notevoli - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi