Integrale arcoseno

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Qual è l'integrale dell'arcoseno, e come si calcola? Ho provato a calcolare l'integrale di arcsen(x) procedendo con l'integrazione per parti ma non sono riuscito a ricavare la famiglia di primitive.

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • Ancor prima di mostrare come calcolare l'integrale dell'arcoseno anticipiamone la formula:

    ∫ arcsin(x)dx = x arcsin(x)+√(1-x^2)+c

    Calcolo dell'integrale dell'arcoseno

    Per calcolare l'integrale dell'arcoseno il modo migliore di procedere consiste con l'integrazione per parti

    ∫ arcsin(x)dx

    Apparentemente sembra che non sia possibile, perché l'integrazione per parti richiede che l'integranda sia costituita dal prodotto di due funzioni. Nulla però ci vieta, con una piccola gabola, di considerare l'integrale di arcsin(x) come

    ∫ 1· arcsin(x)dx

    Ora applichiamo la formula di integrazione per parti

    ∫f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx

    e consideriamo:

    - come derivata f'(x) = 1, la cui primitiva è f(x) = x

    - come primitiva g(x) = arcsin(x), la cui derivata è g'(x) = (1)/(√(1-x^2))

    (a tal proposito potrebbe tornarti utile la tavola delle derivate fondamentali).

    ∫1· arcsin(x)dx = x· arcsin(x)-∫x·(1)/(√(1-x^2))dx = (•)

    Ci resta da calcolare un integrale. Per farlo conviene scrivere il rapporto come potenza ad esponente negativo e razionale 

    (1)/(√(1-x^2)) = (√(1-x^2))^(-1) = (1-x^2)^(-(1)/(2))

    per cui

    (•) = x· arcsin(x)-∫(1-x^2)^(-(1)/(2))·xdx = (•)

    Notiamo ora che l'integranda assomiglia parecchio ad un prodotto della forma [h(x)]^s·h'(x), e se così fosse saremmo a posto. Potremmo applicare la regola di integrazione

    ∫[h(x)]^(s)h'(x)dx = ([h(x)]^(s+1))/(s+1)+c con s ≠-1

    Possiamo farlo? Sì, a patto di dare un'aggiustatina alle costanti moltiplicative dell'integranda in (•).

    La base della potenza è 1-x^2 ed ha come derivata -2x. Noi abbiamo solamente un termine x, per cui moltiplichiamo e dividiamo l'integranda per -2

    (•) = x· arcsin(x)-(1)/(-2)∫(1-x^2)^(-(1)/(2))·(-2x)dx = x· arcsin(x)+(1)/(2)∫(1-x^2)^(-(1)/(2))·(-2x)dx =

    Ci siamo:

    = x· arcsin(x)+(1)/(2)((1-x^2)^(-(1)/(2)+1))/(-(1)/(2)+1)+c =

    ed infine

    = x· arcsin(x)+(1)/(2)((1-x^2)^((1)/(2)))/((1)/(2))+c =

    Siamo così giunti alla conclusione. L'integrale dell'arcoseno è

    ∫ arcsin(x)dx = x arcsin(x)+√(1-x^2)+c

    Per concludere ti lascio un paio di link utili, a tua completa discrezione ;)

    - tabella degli integrali fondamentali

    - tool per calcolare gli integrali online.

    Risposta di Omega
 
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