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  • Una corrispondenza biunivoca tra due insiemi è un particolare tipo di applicazione che associa ad ogni elemento del primo insieme uno ed un solo elemento del secondo, e viceversa ad ogni elemento del secondo insieme fa corrispondere uno ed un solo elemento del primo.

    Cerchiamo di espandere la succinta definizione appena scritta spiegandone il significato. Per chi ha già studiato le funzioni, una corrispondenza biunivoca non è altro che una funzione biunivoca tra due insiemi.

    Definizione di corrispondenza

    Per chi non l'avesse fatto dobbiamo necessariamente ripartire dalla definizione di applicazione tra due insiemi: diciamo che

    F:A\to B

    è un'applicazione tra gli insiemi A\mbox{ e }B, o legge, o corrispondenza o ancora funzione, se essa determina un'associazione tra gli elementi di A e gli elementi di B in modo tale che ad ogni elemento a\in A associ uno ed un solo elemento b\in B.

    Per indicare l'associazione F:a\to b scriveremo

    F(a)=b

    e, con questa notazione, possiamo riscrivere la precedente definizione nel modo seguente:

    \forall a\in A\ \exists ! b\in B\mbox{ t.c. }b=F(a)

    A titolo di cronaca abbiamo trattato la definizione di funzione nel dettaglio nell'omonima lezione.

    Definizione di corrispondenza biunivoca

    Diciamo che F:A\to B è una corrispondenza biunivoca se è un'applicazione e se per ogni elemento b\in B esiste un unico elemento a\in A tale che b sia associato ad a mediante F.

    \forall b\in B\ \exists ! a\in A\mbox{ t.c. }F(a)=b

    Per esteso, F:A\to B è una corrispondenza biunivoca se ad ogni elemento a\in A associa un solo elemento b\in B e, viceversa, se per ogni elemento b\in B esiste un unico elemento a\in A tale per cui F(a)=b.

    Attenzione a non fare confusione:

    - la prima parte della definizione (definizione di applicazione) stabilisce che una corrispondenza deve essere individuata da un insieme di frecce ciascuna delle quali parte da un elemento di A (da ogni elemento di A parte una freccia) e in modo tale che ogni freccia abbia una ed una sola punta;

    - la seconda parte della definizione (biunivocità) stabilisce che tutti gli elementi di B devono essere raggiunti da una e una sola freccia. Non possono cioè esserci due frecce che convogliano nel medesimo elemento b\in B, e inoltre non può esserci alcun elemento b\in B scoperto.

    Esempi di corrispondenze biunivoche (e non)

    1) L'applicazione

    F:\{0,1,2\}\to\{1,2,3\}

    definita da

    F(0)=1\ \ \ ;\ \ \ F(1)=2\ \ \ ;\ \ \ F(2)=3

    o più brevemente da

    F(n)=n+1

    è una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi considerati.

    2) La corrispondenza

    F:\mathbb{N}\to\{2k\mbox{ t.c. }k\in N\}

    dall'insieme dei numeri naturali all'insieme dei numeri pari, definita da

    F(n)=2n

    è biunivoca.

    3) La legge

    F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

    definita sull'insieme dei numeri reali a valori nell'insieme dei numeri reali, definita da

    F(x)=x

    è una corrispondenza biunivoca.

    4) L'applicazione

    F:\{1,2,3,4,5\}\to\{1,2,3,4,5\}

    definita da

    F(1)=1\ \ \ ;\ \ \ F(2)=1\ \ \ ;\ \ \ F(3)=3\ \ \ ;\ \ \ F(4)=4\ \ \ ;\ \ \ F(5)=5

    è una corrispondenza ma non è biunivoca, infatti l'elemento 2 dell'insieme di arrivo non viene raggiunto da alcuna freccia, e inoltre vi sono due frecce che convogliano nel medesimo elemento (1) dell'insieme di arrivo.

    Simbologia per insiemi in corrispondenza biunivoca

    C'è un preciso simbolo matematico che viene adoperato per indicare che è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra due insiemi A,B: supponendo che esista almeno una F:A\to B che sia biunivoca, scriveremo

    A\simeq B

    e leggeremo: "A è in corrispondenza biunivoca con B".

    Corrispondenza biunivoca inversa

    Dati due insiemi A,B, se supponiamo che esista una corrispondenza biunivoca

    F:A\to B

    allora rileggendo la definizione si intuisce immediatamente che esisterà anche una corrispondenza biunivoca

    \tilde{F}:B\to A

    che chiameremo corrispondenza inversa e che denoteremo con il simbolo

    F^{-1}

    Importanza del concetto di corrispondenza biunivoca

    La nozione di corrispondenza biunivoca è fondamentale in Algebra e in Analisi Matematica e ritorna frequentemente nel prosieguo degli studi.

    Senza entrare troppo nel dettaglio (non vogliamo rovinarvi la sorpresa!), l'esistenza di almeno una corrispondenza biunivoca tra due insiemi garantisce importanti "analogie strutturali" tra i due insiemi, tra cui ad esempio il fatto che i due insiemi considerati siano insiemi equipotenti (con la medesima cardinalità).

    Giusto per citare un esempio, il concetto di corrispondenza biunivoca è alla base della definizione dei vari tipi di potenza di un insieme. ;)

    Risposta di Omega
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