La funzione seno è pari o dispari?

Il seno è una funzione dispari perché sen(-x)=-sen(x) per ogni x appartenente al dominio della funzione seno. Per vederlo si può usare la circonferenza goniometrica, oppure guardare il grafico della funzione seno e osservare che è simmetrico rispetto all'origine degli assi.

Procediamo con ordine e analizziamo i due metodi nel dettaglio.

Stabilire se il seno è una funzione pari oppure dispari con la circonferenza goniometrica

Ricordiamo le definizioni di funzione pari e di funzione dispari.

Siano una funzione reale di variabile reale e il suo dominio.

• è una funzione pari se per ogni risulta che ;

• è una funzione dispari se per ogni risulta che .

Ciò premesso consideriamo la funzione seno:

Essa ha come dominio tutto , viene definito mediante l'ampiezza degli angoli (espressa in gradi oppure in radianti) e restituisce un numero reale compreso tra -1 e 1 ottenuto mediante la circonferenza goniometrica.

Per stabilire se è una funzione pari oppure dispari fissiamo un angolo qualsiasi e consideriamo il seno di e il seno di :

- se , il seno è una funzione pari;

- se , il seno è una funzione dispari;

- se non è soddisfatta alcuna delle precedenti uguaglianze, la funzione seno non è né pari né dispari.

Procediamo: disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia la circonferenza del piano cartesiano di raggio 1 e con il centro coincidente con l'origine degli assi.

Partendo dal semiasse delle ascisse positive e girando in senso antiorario tracciamo un angolo di ampiezza con vertice nell'origine.

L'angolo di ampiezza si ottiene partendo sempre dal semiasse delle ascisse positive, ma girando in senso orario.

Chiamiamo il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo di ampiezza e la circonferenza goniometrica, e indichiamo con il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo di ampiezza e la circonferenza.

Seno pari o dispari con la circonferenza goniometrica.

Il seno di un angolo è, per definizione, l'ordinata del punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica, per cui

Per costruzione i punti sono simmetrici rispetto all'asse x, per cui l'ordinata del punto è l'opposta dell'ordinata del punto

e quindi

Dall'arbitrarietà della scelta dell'angolo segue che per ogni , dunque la funzione seno è dispari.

Nota bene: l'uguaglianza

è una delle formule degli archi associati, e quella che abbiamo proposto ne è la dimostrazione.

Stabilire se il seno è una funzione pari oppure dispari dal grafico

L'eventuale parità o disparità di una funzione può essere colta anche graficamente, infatti:

• se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'origine degli assi, allora la funzione è dispari;

• se il grafico di una funzione è simmetrico rispetto all'asse y, allora la funzione è pari.

Osserviamo il grafico della funzione seno, detto anche sinusoide:

Grafico della funzione seno.

Evidentemente è presente una simmetria rispetto all'origine agli assi, e ciò conferma che la funzione seno è dispari.

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Ci fermiamo qui, con un paio di spunti che potrebbero esserti utili:

- per un elenco completo di tutte le proprietà della funzione seno - click!

- se invece vuoi sapere se il coseno è una funzione pari o dispari - click!