Soluzioni
  • La derivata dell'arcotangente è data dal reciproco della somma tra 1 e il quadrato di x, ossia la derivata di f(x)=arctan(x) è f'(x)=1/(1+x^2), e si calcola applicando il teorema per la derivata della funzione inversa.

    \frac{d}{dx} \arctan{(x)} = \frac{1}{1+x^2}

    Come calcolare la derivata di arctan(x)

    Per calcolare la derivata dell'arcotangente bisogna applicare il teorema di derivazione della funzione inversa. Nel calcolarla daremo per nota la derivata della tangente, che è

    \frac{d}{dz} \tan{(z)} = \frac{1}{\cos^2{(z)}}

    Consideriamo la funzione arcotangente

    y = \arctan{(x)}

    essa è definita su tutto \mathbb{R} ed è a valori in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

    \arctan:\mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

    Inoltre l'arcotangente è invertibile e ammette come funzione inversa la funzione tangente, a patto che quest'ultima sia ristretta all'intervallo \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

    \tan:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}

    In sintesi, se y\in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) possiamo scrivere

    y = \arctan{(x)} \ \leftrightarrow \ x = \tan{(y)}

    Applichiamo il teorema di derivazione della funzione inversa: possiamo farlo perché con la precedente restrizione tutte le ipotesi sono soddisfatte. Consideriamo x_0 e y_0 tali che

    y_0=\arctan{(x_0)}\ \ \ ;\ \ \ x_0=\tan{(y_0)}

    dunque

    \frac{d}{dx} \arctan{(x)}|_{x=x_0} = \frac{1}{\dfrac{d}{dy} \tan{(y)}|_{y=y_0}}

    dove la notazione |_{...} indica il punto di valutazione della derivata prima.

    Sostituiamo la derivata a noi nota:

    \frac{d}{dx} \arctan{(x)}|_{x=x_0} = \frac{1}{\dfrac{d}{dy} \tan{(y)}|_{y=y_0}} = \\ \\ \\ = \frac{1}{\dfrac{1}{\cos^2{(y_0)}}}=\cos^2{(y_0)}

    Ora dobbiamo esprimere il coseno al quadrato in termini della tangente. Applicando le formule trigonometriche si ricava l'uguaglianza

    \cos^2{(y_0)} = \frac{1}{1+\tan^2{(y_0)}}

    quindi

    \frac{d}{dx} \arctan{(x)}|_{x=x_0} = \frac{1}{1+\tan^2{(y_0)}}

    e dato che nella nostra ipotesi è x_0 = \tan{(y_0)}, concludiamo che

    \frac{d}{dx} \arctan{(x)}|_{x=x_0} = \frac{1}{1+x_0^2}

    Dalla generalità della coppia (x_0 , y_0) possiamo passare a scrivere la formula per la derivata dell'arcotangente

    \frac{d}{dx} \arctan{(x)} = \frac{1}{1+x^2}

    Derivata dell'arcotangente di una funzione

    La derivata dell'arcotangente di una funzione f(x) è uguale alla derivata prima di f(x) fratto la somma tra 1 e il quadrato di f(x), in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta:

    \frac{d}{dx} \arctan{[f(x)]}=\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}

    Per fissare le idee vediamo un esempio e calcoliamo la derivata dell'arcotangente di 1/x.

    \frac{d}{dx} \arctan\left(\frac{1}{x}\right)=

    Applichiamo la formula per la derivata dell'arcotangente di una funzione e sostituiamo f(x)=\frac{1}{x}

    =\frac{1}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}\cdot \frac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{x}\right]=

    La derivata di 1/x è uguale a -1/x^2

    =\frac{-\dfrac{1}{x^2}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}=\frac{-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x^2}}=

    Calcoliamo la somma a denominatore

    =\frac{-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{x^2+1}{x^2}}=

    scriviamo la frazione di frazioni come moltiplicazione

    =-\frac{1}{x^2} \cdot \frac{x^2}{x^2+1}=

    e svolgiamo la moltiplicazione tra frazioni

    =-\frac{1}{x^2+1}

    ***

    È tutto! Per concludere, ecco un paio di link che potrebbero interessarti:

    - tabella delle derivate notevoli;

    - tool per il calcolo delle derivate online.

    Risposta di Omega
 
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