Soluzioni
  • Se vogliamo calcolare l'integrale della cotangente

    \int{\cot{(x)}dx}

    ci conviene fare riferimento alla definizione di cotangente e riscriverla come rapporto tra coseno e seno

    \cot{(x)}=\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}

    per cui passiamo a

    \int{\cot{(x)}dx}=\int{\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}dx}

    abbiamo già finito, anche se non sembra! :) Se notiamo che il numeratore è proprio la derivata del denominatore (tabella derivate notevoli)

    \frac{d}{dx}\ \sin{(x)}=\cos{(x)}

    possiamo ricorrere alla formula di integrazione

    \int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\log{|f(x)|}+c

    cioè nel nostro caso

    \int{\cot{(x)}dx}=\int{\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}dx}=\log{|\sin{(x)}|}+c

    dove c è la solita costante additiva che descrive tutte le possibili primitive dell'integranda.

    Un procedimento alternativo ma del tutto equivalente prevede di integrare per sostituzione, ponendo

    y=\sin{(x)}

    e di procedere per differenziazione diretta (senza invertire la legge di trasformazione della variabile)

    dy=\frac{d}{dx}\ \sin{(x)}\ dx=\cos{(x)}dx

    di conseguenza l'integrale della cotangente diventa

    \int{\cot{(x)}dx}=\int{\frac{\cos{(x)}}{\sin{(x)}}dx}=\int{\frac{1}{y}}dy

    che conduce al precedente risultato. :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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