Derivata di un vettore

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Come si calcola la derivata di un vettore? Potreste dirmi quanto vale e come si può calcolare la derivata di un vettore di cui sono note le componenti?

 

Più esplicitamente vorrei sapere come si determina la derivata di una funzione vettoriale, ossia la derivata di una funzione f:R → R^n, che a una generica t associa il vettore v(t).

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • La derivata di un vettore è un vettore che ha come componenti le derivate delle componenti del vettore; in altre parole la derivata di v(t)=(f1(t), f2(t), ..., fn(t)) è v'(t)=(f'1(t), f'2(t), ..., f'n(t)).

    (d)/(dt)(f_1(t),f_2(t), ..., f_n(t)) = ((d)/(dt)[f_1(t)], (d)/(dt)[f_2(t)], ..., (d)/(dt)[f_n(t)])

    Come si calcola la derivata di un vettore

    Sia v(t) ∈ R^n un vettore di R^n, con n ≥ 2.

    v(t) può essere pensato come funzione vettoriale di una variabile reale, ossia come una funzione

    f: Ω ⊆ R → R^n

    che a t ∈ Ω associa il vettore

    v(t) = (f_1(t), f_2(t), ..., f_n(t))

    Ogni componente f_i(t) di v(t) è una funzione reale di variabile reale, ossia

    f_i: R → R

    Con queste premesse è del tutto naturale definire la derivata di un vettore come il vettore delle derivate delle sue componenti, per cui

    (d)/(dt)[v(t)] = (d)/(dt)[(f_1(t),f_2(t), ..., f_n(t))] = ((d)/(dt)[f_1(t)], (d)/(dt)[f_2(t)], ..., (d)/(dt)[f_n(t)])

    In parole povere per calcolare la derivata di un vettore (o di una funzione vettoriale di una variabile reale) basta derivare le singole componenti.

    Esempio sul calcolo della derivata di un vettore

    Facciamo un esempio e calcoliamo la derivata del vettore

    v(t) = (sin(t), log(t^2), t^4cos(t))

    Svolgimento: le componenti del vettore v(t) sono:

    f_1(t) = sin(t) ; f_2(t) = log(t^2) ; f_3(t) = t^4cos(t)

    Calcoliamone le derivate.

    • (d)/(dt)[f_1(t)] = (d)/(dt)[sin(t)] =

    La derivata del seno è il coseno

    = cos(t)

    • (d)/(dt)[f_2(t)] = (d)/(dt)[log(t^2)] =

    Qui applichiamo il teorema per le derivate di funzioni composte:

    = (1)/(t^2)·(d)/(dt)[t^2] = (2t)/(t^2) = (2)/(t)

    • (d)/(dt)[f_3(t)] = (d)/(dt)[t^4cos(t)] =

    La derivata del prodotto di due funzioni è uguale alla derivata della prima funzione per la seconda non derivata, più la prima funzione non derivata per la derivata della seconda

    = (d)/(dt)[t^4]·cos(t)+t^4·(d)/(dt)[cos(t)] =

    La prima è la derivata di una potenza, mentre la derivata del coseno è l'opposto del seno

    = 4t^3 cos(t)-t^4 sin(t) =

    Riscriviamola raccogliendo a fattor comune

    = t^3(4cos(t)-tsin(t))

    Ricapitolando:

    (d)/(dt)[f_1(t)] = cos(t) ; (d)/(dt)[f_2(t)] = (2)/(t) ; (d)/(dt)[f_3(t)] = t^3(4cos(t)-tsin(t))

    e quindi la derivata del vettore è

    (d)/(dt)[v(t)] = ((d)/(dt)[f_1(t)], (d)/(dt)[f_2(t)], (d)/(dt)[f_3(t)]) = (cos(t), (2)/(t), t^3(4cos(t)-tsin(t)))

    Derivata di una funzione vettoriale di più variabili reali

    Oltre alle funzioni vettoriali di una variabile reale, di cui ci siamo occupati fin qui, esistono le funzioni vettoriali di più variabili reali, il cui insieme di partenza è un sottoinsieme di R^m con m ≥ 2.

    g:Ω ⊆ R^m → R^n

    Il concetto di derivata si può estendere anche a funzioni di questo tipo, ma è un argomento piuttosto avanzato, che si affronta nei corsi di Analisi II.

    Se vuoi saperne ti rimandiamo all'approfondimento sulla matrice jacobiana - click!

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, a parte consigliarti di:

    - leggere la lezione sulle regole di derivazione;

    - tenere a mente le derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online tutte le volte che hai un dubbio sulla correttezza di un risultato.

    Risposta di Galois
 
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