Soluzioni
  • In realtà parlare di derivata di una frazione di funzioni è improprio. È corretto invece parlare di derivata di un rapporto di funzioni o ancora di derivata di un quoziente di funzioni.

    In pratica parliamo della regola di derivazione per calcolare la derivata di un quoziente del tipo

    y=\frac{f(x)}{g(x)}

    la formula che ci serve è la seguente

    y'=\frac{d}{dx}\ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

    Dimostrazione della formula per la derivata del rapporto

    Se vogliamo ricavarla dobbiamo dare per buona la regola per la derivata di un prodotto e il teorema di derivazione di funzioni composte: riscriviamo la frazione come un prodotto

    \frac{d}{dx}\ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{d}{dx}\ \left[f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}\right]

    e scriviamo il reciproco di g(x) come potenza con esponente negativo

    =\frac{d}{dx}\ \left[f(x)\cdot (g(x))^{-1}\right]=\ \ \ (\bullet)

    Ora applichiamo la formula per la derivata del prodotto:

    \frac{d}{dx}\ [a(x)b(x)]=a'(x)b(x)+a(x)b'(x)

    Quindi

    (\bullet)=\frac{d}{dx}[f(x)]\cdot (g(x))^{-1}+f(x)\cdot \frac{d}{dx}[(g(x))^{-1}]=(\bullet)

    Riscriviamo la derivata di f(x) come f'(x) e per calcolare la derivata di (g(x))^{-1} applichiamo il teorema di derivazione della funzione composta.

    Prima deriviamo la potenza "alla -1", poi moltiplichiamo tale derivata per la derivata della base, cioè g'(x)

    \frac{d}{dx}[(g(x))^{-1}]=(-1)\cdot (g(x))^{-1-1}\cdot g'(x)=-(g(x))^{-2}\cdot g'(x)

    torniamo a (\bullet)

    (\bullet)=f'(x)\cdot (g(x))^{-1}-f(x)\cdot (g(x))^{-2}\cdot g'(x)=

    e riscriviamo le potenze come frazioni

    =\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}=

    Calcoliamo il denominatore comune e abbiamo finito!

    =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

    Esempio di calcolo della derivata del rapporto

    Vediamo un semplice esempio di applicazione della formula per la derivata di un rapporto. Vogliamo derivare la funzione

    f(x)=\frac{x^2+1}{\cos(x)}

    Scriviamo la formula:

    f'(x)=\frac{\frac{d}{dx}[x^2+1]\cdot \cos(x)-(x^2+1)\cdot[\cos(x)]}{(\cos(x))^2}

    Calcoliamo le derivate che compaiono nella formula separatamente. Per la prima basta applicare le semplicissime regole algebriche per il calcolo delle derivate

    \frac{d}{dx}[x^2+1]=2x

    La seconda è una derivata notevole

    \frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)

    Ricomponiamo il tutto

    \\ f'(x)=\frac{2x\cos(x)-(x^2+1)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}=\\ \\ \\ =\frac{2x\cos(x)+(x^2+1)\sin(x)}{\cos^2(x)}

    Per gli esempi e per l'elenco completo delle regole di derivazione - click!

    Risposta di Omega
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