Derivata di una frazione - Derivata di un rapporto

Come si calcola la derivata di una frazione o derivata di un rapporto con due funzioni? Più precisamente vorrei sapere come si trova la derivata di una frazione in cui numeratore e denominatore sono due funzioni, quindi del tipo f(x)/g(x).

Potreste spiegarmi quale formula o regola si usa per calcolare la derivata di un rapporto e mostrarmi un esempio?

Se non chiedo troppo, mi servirebbe anche la dimostrazione della formula per la derivata del rapporto.

La derivata del rapporto, impropriamente detta derivata di una frazione, è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore e la derivata del denominatore, il tutto fratto il denominatore elevato alla seconda.
Parlare di derivata di una frazione di funzioni è improprio, infatti le frazioni sono rapporti tra numeri interi e non tra funzioni. È invece corretto parlare di derivata di un rapporto di funzioni o, ancora, di derivata di un quoziente.
Se consideriamo due funzioni derivabili la derivata del loro rapporto è data da
Esempio di calcolo della derivata di un rapporto
Prima di scrivere la dimostrazione vediamo un semplice esempio di applicazione della formula per la derivata del rapporto. Calcoliamo la derivata della funzione
Applichiamo la formula:
e calcoliamo le derivate separatamente.
Per la prima basta applicare le semplicissime regole algebriche per il calcolo delle derivate
Ricordiamo infatti che la derivata di x^2 è uguale a 2x, mentre la derivata di 1 è zero.
La seconda è la derivata del coseno, ed è una derivata notevole che dovremmo conoscere
Ricomponiamo il tutto e abbiamo finito:
Dimostrazione della formula per la derivata di un rapporto
Siano e due funzioni derivabili in , con . Vogliamo dimostrare la formula della derivata del rapporto
e per farlo useremo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
Scriviamo il rapporto incrementale in della funzione rapporto:
La derivata prima di è il limite per che tende a zero del suddetto rapporto
Calcoliamo la differenza nel numeratore del limite
Per com'è definita una frazione di frazione:
Aggiungiamo e sottraiamo a numeratore
Sempre a numeratore raccogliamo a fattor comune tra i primi due termini e tra gli ultimi due
Spezziamo il limite della differenza in due limiti, in accordo con le regole sull'Algebra dei limiti:
A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente, così da essere più chiari ed evitare di commettere errori.
Partiamo dal primo:
semplifichiamo
e riscriviamolo nel modo seguente
il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti
Osserviamo ora che il primo è il limite per che tende a 0 del rapporto incrementale di in , dunque è uguale a , mentre l'altro si calcola per sostituzione diretta ed è uguale a
Passiamo al secondo:
e non dipendono da , dunque possiamo portarle fuori dal limite
seguiamo lo stesso procedimento di prima
Torniamo al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti
Calcoliamo il denominatore comune
e ci siamo! Abbiamo dimostrato la formula della derivata di un rapporto:
***
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Se invece vuoi leggere altri esercizi svolti sulla derivata del rapporto - click!
Autore: Giuseppe Carichino (Galois)
Ultima modifica: 17/04/2023