Soluzioni
  • Parlare di derivata di una frazione di funzioni è improprio, infatti le frazioni sono rapporti tra numeri interi e non tra funzioni. È invece corretto parlare di derivata di un rapporto di funzioni o, ancora, di derivata di un quoziente.

    Ciò premesso, la derivata del rapporto di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore e il denominatore non derivato, il tutto fratto il denominatore elevato alla seconda.

    In altri termini, se consideriamo due funzioni derivabili f(x),g(x) la derivata del loro rapporto \frac{f(x)}{g(x)} è data da

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Esempio di calcolo della derivata di un rapporto

    Prima di scrivere la dimostrazione vediamo un semplice esempio di applicazione della formula per la derivata del rapporto. Calcoliamo la derivata della funzione

    y=\frac{x^2+1}{\cos(x)}

    Applichiamo la formula:

    y'=\frac{\dfrac{d}{dx}[x^2+1]\cdot \cos(x)-(x^2+1)\cdot \dfrac{d}{dx}[\cos(x)]}{(\cos(x))^2}

    e calcoliamo le derivate separatamente.

    Per la prima basta applicare le semplicissime regole algebriche per il calcolo delle derivate

    \frac{d}{dx}[x^2+1]=\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[1]=2x

    Ricordiamo infatti che la derivata di x^2 è uguale a 2x, mentre la derivata di 1 è zero.

    La seconda è la derivata del coseno, ed è una derivata notevole che dovremmo conoscere

    \frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)

    Ricomponiamo il tutto e abbiamo finito:

    \\ y'=\frac{2x \cdot \cos(x)-(x^2+1) \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)}=\\ \\ \\ =\frac{2x\cos(x)+(x^2+1)\sin(x)}{\cos^2(x)}

    Dimostrazione della formula per la derivata di un rapporto

    Siano f e g due funzioni derivabili in x, con g(x) \neq 0. Vogliamo dimostrare la formula della derivata del rapporto

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    e per farlo useremo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

    Scriviamo il rapporto incrementale in x della funzione rapporto:

    \frac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}

    La derivata prima di \frac{f(x)}{g(x)} è il limite per h che tende a zero del suddetto rapporto

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \lim_{h \to 0}\frac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}=

    Calcoliamo la differenza nel numeratore del limite

    =\lim_{h \to 0}\frac{\dfrac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h)}}{h}=

    Per com'è definita una frazione di frazione:

    =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    Aggiungiamo e sottraiamo f(x) \cdot g(x) a numeratore

    =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) \cdot g(x) - f(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g(x) - f(x) \cdot g(x+h)}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    Sempre a numeratore raccogliamo a fattor comune g(x) tra i primi due termini e -f(x) tra gli ultimi due

    =\lim_{h \to 0}\frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x)\right] - f(x) \left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    Spezziamo il limite della differenza in due limiti, in accordo con le regole sull'Algebra dei limiti:

    =\lim_{h \to 0}\frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h} - \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h} = \ (\bigstar)

    A questo punto calcoliamo i due limiti separatamente, così da essere più chiari ed evitare di commettere errori.

    Partiamo dal primo:

    \bullet \ \lim_{h \to 0}\frac{g(x) \left[f(x+h) - f(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h}=

    semplifichiamo g(x)

    =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{g(x+h) \cdot h}=

    e riscriviamolo nel modo seguente

    =\lim_{h \to 0} \left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x+h)}\right]=

    il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    =\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{g(x+h)}=

    Osserviamo ora che il primo è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di f in x, dunque è uguale a f'(x), mentre l'altro si calcola per sostituzione diretta ed è uguale a \frac{1}{g(x)}

    =f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g(x)}

    Passiamo al secondo:

    \bullet \ \lim_{h \to 0} \frac{f(x) \left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x) \cdot g(x+h) \cdot h} =

    f(x) e g(x) non dipendono da h, dunque possiamo portarle fuori dal limite

    \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\left[g(x+h)-g(x)\right]}{g(x+h) \cdot h} =

    seguiamo lo stesso procedimento di prima

    \\ = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \left[\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{g(x+h)}\right]= \\ \\ \\ = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \left[g'(x) \cdot \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Torniamo al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti

    (\bigstar) \ = \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}=

    Calcoliamo il denominatore comune

    =\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    e ci siamo! Abbiamo dimostrato la formula della derivata di un rapporto:

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    ***

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