Soluzioni
  • L'arcotangente di 0 è uguale a 0 radianti, o equivalentemente a 0 gradi, e si può calcolare applicando la definizione di arcotangente oppure ricavarlo facilmente dal grafico della funzione arcotangente.

    \arctan(0)=0 \mbox{ rad} = 0^{\circ}

    Con un abuso di linguaggio comunemente accettato si è soliti dire che l'arcotangente di zero è zero, ma attenzione! Lo zero dell'argomento dell'arcotangente è un numero reale, mentre lo zero del risultato è l'ampiezza di un angolo espressa in radianti.

    Ricordiamo infatti che l'arcotangente è l'inversa della funzione tangente ristretta sull'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right). È quindi una funzione definita su \mathbb{R} che ha come valori gli angoli tra -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2}\right) espressi in radianti, che eventualmente possiamo trasformare in gradi.

    \\ \arctan: \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ \\ \\ x \in \mathbb{R} \mapsto \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

    Calcolo dell'arcotangente di 0 con la definizione

    In accordo con la definizione, calcolare l'arcotangente di un numero x \in \mathbb{R} significa trovare l'angolo \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) tale che la tangente di \alpha sia uguale a x

    \alpha=\arctan(x) \iff \tan(\alpha)=x \ \ \mbox{ con } -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}

    Per determinare il valore di arctan(0) dobbiamo allora trovare il valore di un angolo \alpha, espresso in radianti e compreso tra -\frac{\pi}{2} e \frac{\pi}{2} (estremi esclusi), tale che la tangente dell'angolo \alpha sia uguale a zero.

    In poche parole dobbiamo risolvere l'equazione goniometrica elementare

    \tan(\alpha)=0 \ \ \mbox{ con } \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

    L'unico angolo in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) in cui la tangente vale zero è \alpha=0, dunque l'arcotangente di 0 vale 0

    \arctan(0)=0

    Arcotangente di 0 dal grafico della funzione arcotangente

    Tracciamo il grafico della funzione arcotangente

     

    Grafico-arcotangente

    Grafico della funzione y=arctan(x).

     

    In generale il grafico di una funzione f: A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} è il luogo geometrico dei punti del piano tali che a ogni ascissa x appartenente al dominio della funzione corrisponde il valore y=f(x), ossia il valore che la funzione associa alla x considerata.

    \mbox{Gr}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ \mbox{t.c.}\ x\in\mbox{Dom}(f),\ y=f(x)\}

    In poche parole se il grafico della funzione passa per il punto di coordinate cartesiane (x_0,y_0), allora f(x_0)=y_0, e viceversa.

    Poiché il grafico della funzione arcotangente passa dall'origine degli assi, ossia dal punto (0,0), da quanto appena scritto deduciamo che \arctan(0)=0.

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, a parte segnalarti l'approfondimento sul calcolo dell'arcotangente. Lì, tra le altre cose, troverai anche un tool per calcolare l'arcotangente online. ;)

    Risposta di Galois
 
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