Soluzioni
  • Ci sono essenzialmente due modi per calcolare l'integrale del seno al quadrato sen^2x:

    \int\sin^2(x)dx

     

    Integrale del seno al quadrato con integrazione per parti

    Il primo si basa sul calcolo degli integrali per parti: se riscriviamo l'integrale rendendo il quadrato esplicito

    \int{\sin{(x)}\sin{(x)}dx}

    prendiamo il primo fattore f'(x)=\sin{(x)} come derivata e il secondo fattore g(x)=\sin{(x)} come primitiva, e applichiamo la formula

    \int{f'(x)g(x)}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)dx}

    Ricordiamoci brevemente quali sono le derivate fondamentali e gli integrali notevoli (tralascio la costante additiva +c)

    \\f'(x)=\sin(x)\ \to\ f(x)=-\cos(x)\\ \\ g(x)=\sin(x)\ \to\ g'(x)=\cos(x)

    abbiamo così

    \\ \int{\sin{(x)}\sin{(x)}dx}=-\cos{(x)}\sin{(x)}-\int{(-\cos{(x)})\cos(x)dx}=\\ \\ =-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{\cos^2(x)dx}=\bullet

    Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche) possiamo scrivere

    \cos^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}

    e riscrivere l'integrale rimanente tramite le proprietà degli integrali

    \\ \bullet=-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{[1-\sin^2(x)]dx}=\\ \\ =-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{dx}-\int{\sin^2(x)dx}=

    Ora riprendiamo il primo termine della catena di uguaglianze e l'ultimo

    \int{\sin^2{(x)}dx}=-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{dx}-\int{\sin^2(x)dx}

    Se trattiamo l'uguaglianza come un'equazione e consideriamo l'integrale del seno al quadrato come un'incognita, e poniamo

    I:=\int{\sin^2{(x)}dx}

    Ci troviamo di fronte a quella che a tutti gli effetti è un'equazione in I

    \\ 2I=-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{dx}\\ \\ I=-\frac{1}{2}\cos{(x)}\sin{(x)}+\frac{1}{2}\int{dx}

    L'integrale a destra è banale (non dimentichiamoci la costante arbitraria)

    I=-\frac{1}{2}\cos{(x)}\sin{(x)}+\frac{1}{2}x+c

    Abbiamo finito!

    \int{\sin^2{(x)}dx}=-\frac{1}{2}\sin{(x)}\cos{(x)}+\frac{1}{2}x+c

     

    Integrale del seno al quadrato con le formule trigonometriche

    Il secondo metodo è ben più rapido, ma richiede molta più inventiva. Ci vuole in particolare dimestichezza e occhio con le formule trigonometriche e in particolare con le formule di duplicazione.

    Prendiamo la formula di duplicazione del coseno

    \cos{(2x)}=\cos^2{(x)}-\sin^2{(x)}

    quindi

    \sin^2{(x)}=\cos^2{(x)}-\cos{(2x)}

    Dall'identità fondamentale della Trigonometria

    \cos^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}

    quindi per sostituzione

    \sin^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}-\cos{(2x)}

    Con un paio di semplici conticini abbiamo ricavato una forma ben più gestibile per il seno al quadrato, almeno in termini di integrazione

    \sin^2{(x)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{(2x)}

    Per cui possiamo riscrivere l'integrale di sen^2(x) come

    \int\sin^2(x)dx=\int\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]dx=

    L'integrale a destra è molto più semplice. Sfruttiamo le proprietà degli integrali

    =\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)dx=\bullet\bullet

    Il primo integrale è banale. L'unica difficoltà potrebbe creartela l'integrale del coseno di 2x

    \int{\cos(2x)dx}

    ma puoi risolverlo tranquillamente per sostituzione: poni t=2x da cui x=\frac{t}{2}\mbox{ e }dx=\frac{dt}{2}

    \int{\cos(2x)dx}=\int{\frac{1}{2}\cos(t)dt}=+\frac{1}{2}\sin{(t)}+c=+\frac{1}{2}\sin{(2x)}+c

    quindi, tornando a noi

    \bullet\bullet=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin(2x)+C=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin(2x)\right)+C

    Qui volendo possiamo sfruttare nuovamente le formule di duplicazione e scrivere la famiglia di primitive in una forma equivalente

    \int\sin^2(x)dx=\frac{1}{2}(x-\sin(x)\cos(x))+C

    e con questo è tutto. A titolo di approfondimento ti suggerisco di dare uno sguardo alla scheda di esercizi svolti sugli integrali particolari e, in caso di necessità, di usare il tool per gli integrali online. ;)

    Risposta di Omega
 
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