Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale di sen^2(x), ossia l'integrale indefinito del seno al quadrato di x, si può usare il metodo di integrazione per parti oppure ricorrere alle formule trigonometriche.

    Tra poco vedremo come applicare entrambi i metodi, ma intanto ecco il risultato:

    \int\sin^2(x)dx = \frac{1}{2}\left(x-\sin(x)\cos(x)\right) + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Integrale del seno al quadrato con integrazione per parti

    \int\sin^2(x)dx=

    Riscriviamo l'integranda come prodotto

    =\int{\sin{(x)}\sin{(x)}dx}

    e usiamo il metodo di integrazione per parti. Prendiamo il primo fattore f'(x)=\sin{(x)} come derivata e il secondo fattore g(x)=\sin{(x)} come primitiva, e applichiamo la formula:

    \int{f'(x)g(x)}=f(x)g(x)-\int{f(x)g'(x)dx}

    Ricordiamoci brevemente quali sono le derivate fondamentali e gli integrali notevoli (tralasciando la costante additiva +c):

    f'(x)=\sin(x)\ \to\ f(x)=-\cos(x)\\ \\ g(x)=\sin(x)\ \to\ g'(x)=\cos(x)

    Abbiamo quindi:

    \\ \int{\sin{(x)}\sin{(x)}dx}=-\cos{(x)}\sin{(x)}-\int{(-\cos{(x)})\cos(x)dx}=\\ \\ \\ =-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{\cos^2(x)dx}=(\bullet)

    Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria possiamo scrivere

    \cos^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}

    e riscrivere l'integrale rimanente applicando le proprietà degli integrali

    (\bullet)=-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{[1-\sin^2(x)]dx}=\\ \\ \\ =-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{dx}-\int{\sin^2(x)dx}=

    Ora riprendiamo il primo termine della catena di uguaglianze e l'ultimo

    \int{\sin^2{(x)}dx}=-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{dx}-\int{\sin^2(x)dx}

    Se trattiamo l'uguaglianza come un'equazione e consideriamo l'integrale del seno al quadrato come un'incognita, ponendo

    I:=\int{\sin^2{(x)}dx}

    Ci troviamo di fronte a quella che a tutti gli effetti è un'equazione in I

    \\ 2I=-\cos{(x)}\sin{(x)}+\int{dx}\\ \\ \\ I=-\frac{1}{2}\cos{(x)}\sin{(x)}+\frac{1}{2}\int{dx}

    L'integrale a destra è banale (non dimentichiamoci la costante arbitraria)

    I=-\frac{1}{2}\cos{(x)}\sin{(x)}+\frac{1}{2}x+c

    Abbiamo finito!

    \int{\sin^2{(x)}dx}=-\frac{1}{2}\sin{(x)}\cos{(x)}+\frac{1}{2}x+c

    Integrale del seno al quadrato con le formule trigonometriche

    Il secondo metodo è ben più rapido, ma richiede molta più inventiva. Serve una certa dimestichezza con le formule trigonometriche, in particolare con le formule di duplicazione.

    Consideriamo la formula di duplicazione del coseno

    \cos{(2x)}=\cos^2{(x)}-\sin^2{(x)}

    da cui

    \sin^2{(x)}=\cos^2{(x)}-\cos{(2x)}

    Dall'identità fondamentale della Trigonometria

    \cos^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}

    quindi per sostituzione

    \sin^2{(x)}=1-\sin^2{(x)}-\cos{(2x)}

    Con un paio di semplici contici abbiamo ricavato una forma ben più gestibile per il seno al quadrato, almeno in termini di integrazione

    \sin^2{(x)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos{(2x)}

    Per cui possiamo riscrivere l'integrale di sen^2(x) come

    \int\sin^2(x)dx=\int\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]dx=

    L'integrale a destra è molto più semplice. Sfruttiamo le proprietà degli integrali

    =\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)dx=(\bullet\bullet)

    Il primo integrale è banale. L'unica difficoltà potrebbe riguardare l'integrale del coseno di 2x

    \int{\cos(2x)dx}

    ma possiamo risolverlo per sostituzione: poniamo t=2x, da cui x=\frac{t}{2} e dx=\frac{dt}{2}

    \int{\cos(2x)dx}=\int{\frac{1}{2}\cos(t)dt}=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\sin{(t)}+c=\frac{1}{2}\sin{(2x)}+c

    Tornando a noi

    (\bullet\bullet)=\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin(2x)+C=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin(2x)\right)+C

    Qui possiamo sfruttare nuovamente le formule di duplicazione e scrivere la famiglia di primitive in una forma equivalente

    \int\sin^2(x)dx=\frac{1}{2}(x-\sin(x)\cos(x))+C

    ***

    Con questo è tutto! A titolo di approfondimento ti suggeriamo di dare uno sguardo alla scheda di esercizi svolti sugli integrali particolari e, in caso di necessità, di usare il tool per gli integrali online. ;)

    Risposta di Galois
 
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