Soluzioni
  • Si dice area del cubo l'area della superficie totale, definita come la somma delle aree delle sei facce del cubo. Per calcolare la superficie totale di un cubo basta moltiplicare il quadrato della misura dello spigolo per 6.

     

    Area cubo

    Area cubo = Area superficie totale = 6L2

     

    Formula per l'area del cubo

    L'area della superficie totale di un solido è data dalla somma delle aree delle sue facce. Un cubo ha come facce sei quadrati congruenti, dunque l'area della superficie totale si ricava moltiplicando per 6 l'area di uno dei quadrati.

    Se chiamiamo L il lato, cioè lo spigolo del cubo, l'area del quadrato è

    A_{quadrato}=L^2

    Moltiplicandone il valore per 6 otteniamo la formula per il calcolo dell'area del cubo

    A_{cubo} = 6 \times A_{quadrato} = 6 \times L^2 = 6L^2

    Nei formulari sul cubo si è soliti indicare l'area del cubo con S_{tot}, così da non confonderla con l'area della superficie laterale S_{lat} o con l'area di base S_{b}.

    Per completezza, nella tabella sottostante abbiamo riportato tutte le formule sull'area del cubo, comprese le formule per l'area della superficie laterale e per l'area della superficie di base.

     

    Area della superficie totale del cubo

    S_{tot}=6L^2

    Area della superficie laterale del cubo

    S_{lat}=4L^2

    Area della superficie di base del cubo

    S_{b}=L^2

     

    Per tutte le formule sul cubo, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'area del cubo

    Vediamo come si risolvono i problemi sull'area del cubo, spiegando i vari metodi risolutivi al variare dei dati. Ognuno degli esercizi presenta svolgimenti completi con tutti i passaggi e i calcoli che permettono di arrivare alla soluzione.

    Calcolo area cubo con lo spigolo

    Se viene fornita la misura dello spigolo del cubo, per calcolare l'area della superficie totale basta moltiplicare il quadrato della lunghezza dello spigolo per 6.

    S_{tot} = 6L^2

    Esempio

    Lo spigolo di un cubo misura 3 centimetri; calcolare l'area.

    S_{tot}=6L^2 =6 \times (3 \mbox{ cm})^2 = 6 \times (9 \mbox{ cm}^2) = 54 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area cubo con il volume

    Per determinare l'area della superficie totale dal volume si deve estrarre la radice terza del volume, così da ottenere la misura dello spigolo

    L=\sqrt[3]{V}

    dopodiché si può calcolare l'area con la relativa formula

    S_{tot} = 6L^2

    Esempio

    Calcolare l'area della superficie totale di un cubo sapendo che il suo volume è di 1000 metri cubi.

    Il volume del cubo si ottiene elevando la misura dello spigolo alla terza

    V=L^3

    Invertiamo la precedente formula in favore dello spigolo

    L=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{1000 \mbox{ m}^3} = 10 \mbox{ m}

    Possiamo così procedere al calcolo dell'area della superficie totale

    S_{tot}=6L^2 =6 \times (10 \mbox{ m})^2 = 6 \times (100 \mbox{ m}^2) = 600 \mbox{ m}^2

    Calcolo area cubo con la diagonale

    Ormai dovrebbe essere chiaro che per calcolare l'area della superficie totale ci serve la misura dello spigolo, che possiamo ricavare dalla diagonale del cubo dividendone la lunghezza per la radice quadrata di 3.

    L=\frac{D}{\sqrt{3}}

    Fatto ciò si può procedere al calcolo dell'area

    S_{tot} = 6L^2

    Esempio

    La diagonale di un cubo misura 5√3 metri; calcolare l'area della superficie totale.

    Dividendo la misura della diagonale per la radice di 3 si ottiene la misura dello spigolo

    L=\frac{D}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3} \mbox{ m}}{\sqrt{3}} = 5 \mbox{ m}

    Dal prodotto tra 6 e il quadrato dello spigolo si ricava l'area della superficie totale

    S_{tot}=6L^2 =6 \times (5 \mbox{ m})^2 = 6 \times (25 \mbox{ m}^2) = 150 \mbox{ m}^2

    Calcolo area cubo inscritto o circoscritto a una sfera

    Un cubo può essere sempre inscritto e circoscritto a una sfera. Indicando con r il raggio della sfera inscritta e con R il raggio della sfera circoscritta, sappiamo che lo spigolo:

    - è il doppio del raggio della sfera inscritta

    L=2r

    - si può ottenere dal raggio della sfera circoscritta mediante la seguente formula

    L=\frac{2}{\sqrt{3}}L

    In entrambi i casi, una volta nota la misura dello spigolo sappiamo come calcolare l'area della superficie totale

    S_{tot} = 6L^2

    Esempio

    Il raggio della sfera inscritta in un cubo misura 4 decimetri. Qual è l'area della superficie totale del cubo?

    Troviamo la misura dello spigolo moltiplicando il raggio per 2, per poi calcolare l'area.

    \\ L=2r = 2 \times (4 \mbox{ dm}) = 8 \mbox{ dm} \\ \\ S_{tot}=6L^2 =6 \times (8 \mbox{ dm})^2 = 6 \times (64 \mbox{ dm}^2) = 384 \mbox{ dm}^2

    ***

    Per altri esercizi accuratamente risolti potete consultare la nostra scheda di problemi svolti sul cubo - click!

    Risposta di Galois
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