La derivata di x^x è uguale al logaritmo naturale di x più 1, tutto moltiplicato per x^x, ossia la derivata prima della funzione f(x)=xx è f'(x)=xx(ln(x)+1). Per calcolarla si usa l'identità logaritmo-esponenziale e si applica il teorema di derivazione per le funzioni composte.
Calcolo della derivata di x^x
Consideriamo la funzione
La condizione
va posta per assicurare l'esistenza della funzione. Come discusso nell'approfondimento sul dominio dell'esponenziale, un'esponenziale con base variabile è ben definita se la sua base (in questo caso
) è positiva.
Usiamo l'identità che lega l'esponenziale e il logaritmo, secondo cui per ogni
e sostituiamo
. Possiamo farlo perché per
anche la quantità
è positiva.
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo della base della potenza, come garantito da una nota proprietà dei logaritmi
In definitiva
Possiamo ora procedere con la derivazione.
Osserviamo che
è una funzione composta del tipo
con
Applichiamo allora il teorema di derivazione della funzione composta, secondo cui la derivata di
è uguale alla derivata della funzione esterna (con argomento invariato) per la derivata della funzione interna
Nella funzione
la funzione esterna è la funzione esponenziale
La sua derivata con argomento invariato è
e quindi
La funzione interna è invece
Calcoliamone la derivata con la regola di derivazione del prodotto:
La derivata di x è 1, mentre la derivata di ln(x) è uguale a 1/x
In definitiva
Ricapitolando:
ricordando che
Ci siamo!
***
Concludiamo con alcuni riferimenti utili:
- calcolo delle derivate, una lezione di riepilogo sulle principali regole di derivazione;
- derivate fondamentali, dove trovi una tabella con tutte le derivate notevoli che andrebbero ricordate a memoria;
- derivate online, uno strumento con cui verificare i risultati degli esercizi.
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