Soluzioni
  • La derivata di x^x è uguale al logaritmo naturale di x più 1, tutto moltiplicato per x^x, ossia la derivata prima della funzione f(x)=xx è f'(x)=xx(ln(x)+1). Per calcolarla si usa l'identità logaritmo-esponenziale e si applica il teorema di derivazione per le funzioni composte.

    (d)/(dx)[x^x] = x^x (ln(x)+1)

    Calcolo della derivata di x^x

    Consideriamo la funzione

    f(x) = x^x con x > 0

    La condizione x > 0 va posta per assicurare l'esistenza della funzione. Come discusso nell'approfondimento sul dominio dell'esponenziale, un'esponenziale con base variabile è ben definita se la sua base (in questo caso x) è positiva.

    Usiamo l'identità che lega l'esponenziale e il logaritmo, secondo cui per ogni a > 0

    a = e^(ln(a))

    e sostituiamo a = x^x. Possiamo farlo perché per x > 0 anche la quantità x^x è positiva.

    x^x = e^(ln(x^x)) =

    Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza e il logaritmo della base della potenza, come garantito da una nota proprietà dei logaritmi

    = e^(x ln(x))

    In definitiva

    f(x) = x^x = e^(x ln(x)) con x > 0

    Possiamo ora procedere con la derivazione.

    f'(x) = (d)/(dx)[x^x] = (d)/(dx)[e^(x ln(x))]

    Osserviamo che e^(x ln(x)) è una funzione composta del tipo h(g(x)) con

    h(y) = e^y ; y = g(x) = xln(x)

    Applichiamo allora il teorema di derivazione della funzione composta, secondo cui la derivata di h(g(x)) è uguale alla derivata della funzione esterna (con argomento invariato) per la derivata della funzione interna

    (d)/(dx)[h(g(x))] = h'(g(x))·g'(x)

    Nella funzione

    f(x) = h(g(x)) = e^(x ln (x))

    la funzione esterna è la funzione esponenziale

    h(y) = e^y con y = xln(x)

    La sua derivata con argomento invariato è

    h'(y) = e^y

    e quindi

    h'(g(x)) = e^(xln(x))

    La funzione interna è invece

    g(x) = xln(x)

    Calcoliamone la derivata con la regola di derivazione del prodotto:

    g'(x) = (d)/(dx)[x]·ln(x)+x·(d)/(dx)[ln(x)] =

    La derivata di x è 1, mentre la derivata di ln(x) è uguale a 1/x

    = 1·ln(x)+x·(1)/(x) = ln(x)+1

    In definitiva

    g'(x) = ln(x)+1

    Ricapitolando:

    (d)/(dx)[h(g(x))] = h'(g(x))·g'(x) = e^(xln(x))·(ln(x)+1) =

    ricordando che e^(x ln(x)) = x^x

    = x^x·(ln(x)+1)

    Ci siamo!

    (d)/(dx)[x^x] = x^x(ln(x)+1)

    ***

    Concludiamo con alcuni riferimenti utili:

    - calcolo delle derivate, una lezione di riepilogo sulle principali regole di derivazione;

    - derivate fondamentali, dove trovi una tabella con tutte le derivate notevoli che andrebbero ricordate a memoria;

    - derivate online, uno strumento con cui verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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