Soluzioni
  • La derivata del binomio al quadrato (ax+b)^2 è uguale a 2a^2x+2ab, che possiamo anche scrivere come 2a(ax+b); si può calcolare usando la regola per la derivata della potenza di una funzione, oppure sviluppando prima il quadrato di binomio e successivamente derivando lo sviluppo.

    Il risultato è sempre lo stesso, indipendentemente dal metodo scelto: la derivata del quadrato di binomio (ax+b)^2 è uguale a 2a(ax+b).

    \frac{d}{dx}\left[(ax+b)^2\right]=2a(ax+b)=2a^2x+2ab

    Calcolo della derivata di un binomio al quadrato

    Consideriamo la funzione

    f(x)=(ax+b)^2

    e sviluppiamo il quadrato di binomio

    f(x)=a^2x^2+2axb+b^2

    Di conseguenza:

    \frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}\left[ a^2x^2+2axb+b^2 \right]=

    La derivata di una somma è uguale alla somma delle derivate:

    =\frac{d}{dx}\left[ a^2x^2 \right] + \frac{d}{dx}\left[ 2axb \right] + \frac{d}{dx}\left[b^2 \right]=

    Stiamo derivando rispetto a x, dunque i coefficienti a,b svolgono il ruolo di costanti. La derivata del prodotto di una costante per una funzione è uguale al prodotto tra la costante e la derivata della funzione, per cui

    =a^2 \cdot \frac{d}{dx}\left[ x^2\right] + 2ab \cdot \frac{d}{dx}\left[ x \right] + \frac{d}{dx}\left[b^2 \right]= \ (\bullet)

    Ricordiamo ora che:

    - la derivata di x^2 è uguale a 2x

    \frac{d}{dx}\left[ x^2\right] = 2x

    - la derivata di x è uguale a 1

    \frac{d}{dx}\left[x\right] = 1

    - la derivata di una costante è 0

    \frac{d}{dx}\left[b^2\right] = 0

    Riprendiamo dal punto in cui ci siamo fermati

    \\ (\bullet) = a^2 \cdot 2x + 2ab \cdot 1 + 0 = \\ \\ = 2a^2x+2ab=

    raccogliamo a fattor comune 2a

    =2a(ax+b)

    e ci siamo:

    \frac{d}{dx}\left[(ax+b)^2\right]=2a^2x+2ab=2a(ax+b)

    Esempio sul calcolo della derivata di un quadrato di binomio

    A titolo di esempio calcoliamo la derivata della funzione

    f(x)=(2x+5)^2

    Sviluppiamo il quadrato di binomio

    \\ f(x)=(2x)^2+ 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = \\ \\ = 4x^2+20x+25

    e deriviamo con le consuete regole di derivazione:

    \\ \frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}\left[4x^2+20x+25\right]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}\left[4x^2\right]+\frac{d}{dx}\left[20x\right]+\frac{d}{dx}\left[25\right]= \\ \\ \\ = 4 \cdot \frac{d}{dx}\left[x^2\right]+20 \cdot \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[25\right]= \\ \\ \\ = 4 \cdot (2x) + 20 \cdot 1 + 0 = \\ \\ = 8x+20

    Calcolo della derivata di un binomio al quadrato come derivata della potenza di una funzione

    Un altro metodo per calcolare la derivata di un binomio al quadrato è quello di applicare la regola per la derivata della potenza di una funzione, secondo cui:

    \frac{d}{dx}\left[\left(f(x)\right)^s\right] = s \cdot (f(x))^{s-1} \cdot \frac{d}{dx}\left[f(x)\right]\ \ \forall s \in \mathbb{R}

    Questa è una formula che non va assolutamente imparata a memoria, infatti è una conseguenza del teorema di derivazione della funzione composta.

    Applichiamola per calcolare la derivata del quadrato di binomio (ax+b)^2.

    Sostituiamo f(x)=(ax+b) e s=2

    \frac{d}{dx}\left[(ax+b)^2\right] = 2 \cdot (ax+b)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}\left[(ax+b)\right]=

    la derivata di un somma è uguale alla somma delle derivate

    =2 \cdot (ax+b) \cdot \left(\frac{d}{dx}[ax]+\frac{d}{dx}[b]\right)= \ (\bullet)

    a,b sono costanti, pertanto

    \\ \frac{d}{dx}[ax]=a \cdot \frac{d}{dx}[x] = a \cdot 1 = a \\ \\ \\ \frac{d}{dx}[b]=0

    Riprendiamo dal punto in cui ci siamo fermati

    \\ (\bullet) = 2 \cdot (ax+b) \cdot \left(a+0\right) = \\ \\ = 2(ax+b) \cdot a = \\ \\ = 2a(ax+b)=2a^2x+2ab

    Anche questo metodo conferma che la derivata del quadrato di un binomio è data da

    \frac{d}{dx}\left[(ax+b)^2\right]=2a(ax+b)=2a^2x+2ab

    Esempio sul calcolo della derivata di un quadrato di binomio come derivata della potenza di una funzione

    Calcoliamo la derivata della stessa funzione del precedente esempio

    f(x)=(2x+5)^2

    ma questa volta usiamo la regola per la derivata di una funzione elevata a potenza

    \\ \frac{d}{dx}[f(x)]=\frac{d}{dx}\left[(2x+5)^2\right] = \\ \\ = 2 \cdot (2x+5)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}[2x+5] = \\ \\ = 2 \cdot (2x+5) \cdot 2 = \\ \\ = 4(2x+5) = \\ \\ = 8x+20

    ***

    Ci fermiamo qui. Ecco qualche spunto di approfondimento:

    - calcolo derivate, una lezione che elenca le principali regole di derivazione;

    - derivate fondamentali, dove trovi una tabella con le derivate delle funzioni che dovresti ricordare a memoria;

    - calcolo delle derivate online, un tool per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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