Soluzioni
  • Ci sono sostanzialmente due modi per derivare un binomio elevato al quadrato

    f(x)=(ax+b)^2

     

    1) Il primo metodo consiste nello sviluppare il quadrato del binomio (prodotti notevoli) e nel calcolare la derivata del polinomio che ne risulta

    f(x)=a^2x^2+2abx+b^2

    A questo punto basta applicare le regole per il calcolo delle derivate: la derivata di una somma è la somma delle derivate

    f'(x)=\frac{d}{dx}[a^2x^2+2abx+b^2]=\frac{d}{dx}[a^2x^2]+\frac{d}{dx}[2abx]+\frac{d}{dx}[b^2]

    e la derivata del prodotto di una funzione per una costante è il prodotto della costante per la derivata della funzione

    =a^2\frac{d}{dx}[x^2]+2ab\frac{d}{dx}[x]+\frac{d}{dx}[b^2]=

    non ci resta che calcolare le singole derivate (ci troviamo di fronte a semplicissime derivate fondamentali)

    =a^2[2x]+2ab[1]+0=2a^2x+2ab=

    volendo possiamo effettuare un raccoglimento totale sul termine 2a

    =2a(ax+b).

     

    2) Il secondo modo è più veloce, e si basa sulla derivazione della funzione composta

    f(x)=(ax+b)^2

    Deriviamo la potenza e moltiplichiamo il tutto per la derivata della base

    f'(x)=\frac{d}{dx}[(ax+b)^2]=2(ax+b)^{2-1}\cdot\frac{d}{dx}[ax+b]=

    anche qui applichiamo rapidamente le regole di derivazione

    2(ax+b)\cdot\left(a\frac{d}{dx}[x]+\frac{d}{dx}[b]\right)=2(ax+b)\cdot (a\cdot 1+0)=

    e quindi

    =2a(ax+b)

    La derivata del quadrato di un binomio è in ogni caso

    \frac{d}{dx}\ (ax+b)^2=2a(ax+b)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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