Area del quadrilatero: tutte le formule generali

L'area del quadrilatero si calcola come A=√[(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d)], dove p è il semiperimetro e a, b, c, d sono le misure dei lati; la formula per calcolare l'area di un quadrilatero qualsiasi prende il nome di formula di Brahmagupta e vale solo per i quadrilateri inscrivibili in una circonferenza.

L'area di un quadrilatero irregolare e non necessariamente inscrivibile in una circonferenza si calcola con due opportune formule trigonometriche:

- una di esse prende il nome di formula di Bretschneider, ed è una generalizzazione della formula di Brahmagupta;

- per l'altra bisogna conoscere le misure delle diagonali del quadrilatero e l'ampiezza di uno degli angoli compreso tra di esse.

Infine possiamo calcolare l'area di un quadrilatero come somma delle aree di due triangoli: quelli che si ottengono suddividendo il quadrilatero con ciascuna delle sue diagonali.

Analizziamo i vari metodi nel dettaglio.

Formula di Brahmagupta - Area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza

Consideriamo un quadrilatero che si possa inscrivere in una circonferenza e chiamiamo le misure dei suoi lati.

Indichiamo con il semiperimetro del quadrilatero, che è dato dalla semisomma delle misure dei suoi lati:

La formula di Brahmagupta permette di calcolare l'area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza nel modo seguente:

Area quadrilatero inscrivibile = √[(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d)].

Formula di Bretschneider - Area di una quadrilatero qualsiasi

Siano le misure dei suoi lati e siano le ampiezze degli angoli interni, come mostra le seguente immagine.

Area quadrilatero non inscrivibile.

La formula di Bretschneider permette di calcolare l'area di un quadrilatero qualsiasi come

dove è la semisomma della ampiezze di due angoli opposti, e indica il coseno dell'angolo . La scelta della coppia di angoli è irrilevante, purché siano opposti, dunque si può considerare

È utile notare che la formula di Brahmagupta è una caso particolare della formula di Bretschneider, infatti un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono angoli supplementari, ossia se la loro somma è uguale a 180°

Da ciò segue che

Se applichiamo la formula di Bretschneider a una quadrilatero che si può inscrivere in una circonferenza otteniamo proprio la formula di Brahmagupta, come risulta evidente dai seguenti passaggi:

Poiché il coseno di 90 gradi è uguale a zero, si ricava:

Area di un quadrilatero con le diagonali

Supponiamo di conoscere le misure delle diagonali del quadrilatero e l'ampiezza di uno degli angoli compreso tra di esse (non importa quale).

L'area del quadrilatero si calcola moltiplicando le misure delle diagonali per il seno di uno degli angoli compreso tra di esse e dividendo tutto per 2. In una formula:

Area quadrilatero = (d₁·d₂·sin(φ))/2.

Area di un quadrilatero come somma delle aree di due triangoli

Un procedimento alternativo, nonché quello più semplice da ricordare, consiste nel calcolare l'area di un quadrilatero qualsiasi come somma delle aree dei triangoli in cui viene suddiviso da una delle sue diagonali.

Area quadrilatero = Area triangolo T₁ + Area triangolo T₂.

Uno dei casi più frequenti in cui si applica questo procedimento è quello in cui si conoscono le misure dei lati del quadrilatero e la misura di una delle diagonali.

Con queste informazioni possiamo infatti calcolare le aree dei triangoli con la formula di Erone

e dalla loro somma ricavare l'area del quadrilatero

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