Soluzioni
  • L'area del quadrilatero si calcola come A=√[(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d)], dove p è il semiperimetro e a, b, c, d sono le misure dei lati; la formula per calcolare l'area di un quadrilatero qualsiasi prende il nome di formula di Brahmagupta e vale solo per i quadrilateri inscrivibili in una circonferenza.

    L'area di un quadrilatero irregolare e non inscrivibile in una circonferenza si calcola con due opportune formule trigonometriche:

    - una di esse prende il nome di formula di Bretschneider, ed è una generalizzazione della formula di Brahmagupta;

    - per l'altra bisogna conoscere le misure delle diagonali del quadrilatero e l'ampiezza di uno degli angoli compreso tra di esse.

    Infine possiamo calcolare l'area di un quadrilatero come somma delle aree di due triangoli: quelli che si ottengono suddividendo il quadrilatero con ciascuna delle sue diagonali.

    Analizziamo i vari metodi nel dettaglio.

    Formula di Brahmagupta - Area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza

    Consideriamo un quadrilatero che si possa inscrivere in una circonferenza e chiamiamo a,b,c,d le misure dei suoi lati.

    Indichiamo con p il semiperimetro del quadrilatero, che è dato dalla semisomma delle misure dei suoi lati:

    p=\frac{a+b+c+d}{2}

    La formula di Brahmagupta permette di calcolare l'area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza nel modo seguente:

    A=\sqrt{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)\cdot (p-d)}

     

    Area quadrilatero inscrivibile circonferenza

    Area quadrilatero inscrivibile = √[(p-a)·(p-b)·(p-c)·(p-d)].

     

    Formula di Bretschneider - Area di una quadrilatero non inscrivibile in una circonferenza

    Analizziamo il caso dei quadrilateri non inscrivibili in una circonferenza.

    Siano a,b,c,d le misure dei suoi lati e siano \alpha, \beta, \gamma, \delta le ampiezze degli angoli interni, come mostra le seguente immagine.

     

    Area quadrilatero non inscrivibile circonferenza

    Area quadrilatero non inscrivibile.

     

    La formula di Bretschneider permette di calcolare l'area di un quadrilatero non inscrivibile in una circonferenza come

    A=\sqrt{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)\cdot (p-d) - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot \cos(\theta)}

    dove \theta è la semisomma della ampiezze di due angoli opposti, e \cos(\theta) indica il coseno dell'angolo \theta. La scelta della coppia di angoli è irrilevante, purché siano opposti, dunque si può considerare

    \theta=\frac{\alpha+\gamma}{2} \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ \theta = \frac{\beta+\delta}{2}

    È utile notare che la formula di Brahmagupta è una caso particolare della formula di Bretschneider, infatti un quadrilatero è inscrivile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono angoli supplementari, ossia se la loro somma è uguale a 180°

    \alpha+\gamma = 180^{\circ} \ \ ; \ \ \beta+\delta=180^{\circ}

    Da ciò segue che

    \\ \theta=\frac{\alpha+\gamma}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ} \\ \\ \\ \theta=\frac{\beta+\delta}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}

    Se applichiamo la formula di Bretschneider a una quadrilatero che si può inscrivere in una circonferenza otteniamo proprio la formula di Brahmagupta, come risulta evidente dai seguenti passaggi:

    \\ A=\sqrt{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)\cdot (p-d) - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot \cos(\theta)} = \\ \\ = \sqrt{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)\cdot (p-d) - a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot \cos(90^{\circ})}=

    Poiché il coseno di 90 gradi è uguale a zero, si ricava:

    =\sqrt{(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)\cdot (p-d)}

    Area di un quadrilatero con le diagonali

    Supponiamo di conoscere le misure d_1,d_2 delle diagonali del quadrilatero e l'ampiezza \varphi di uno degli angoli compreso tra di esse (non importa quale).

    L'area del quadrilatero si calcola moltiplicando le misure delle diagonali per il seno di uno degli angoli compreso tra di esse e dividendo tutto per 2. In una formula:

    A=\frac{d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\varphi)}{2}

     

    Area quadrilatero con diagonali

    Area quadrilatero = (d1·d2·sin(φ))/2.

     

    Area di un quadrilatero come somma delle aree di due triangoli

    Un procedimento alternativo, nonché quello più semplice da ricordare, consiste nel calcolare l'area di un quadrilatero qualsiasi come somma delle aree dei triangoli in cui viene suddiviso da una delle sue diagonali.

     

    Area quadrilatero come somma aree triangoli

    Area quadrilatero = Area triangolo T1 + Area triangolo T2.

     

    Uno dei casi più frequenti in cui si applica questo procedimento è quello in cui si conoscono le misure a,b,c,d dei lati del quadrilatero e la misura f di una delle diagonali.

    Con queste informazioni possiamo infatti calcolare le aree dei triangoli T_1, T_2 con la formula di Erone

    \\ A_{T_1}=\sqrt{p_1(p_1-a)(p_1-b)(p_1-f)} \ \ \mbox{ con } p_1=\frac{a+b+f}{2} \\ \\ \\ A_{T_2}=\sqrt{p_2(p_2-c)(p_2-d)(p_2-f)} \ \ \mbox{ con } p_2=\frac{c+d+f}{2}

    e dalla loro somma ricavare l'area del quadrilatero

    A=A_{T_1}+A_{T_2}

    ***

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    Risposta di Galois
 
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