Soluzioni
  • Il volume del prisma si calcola come V=Sb·h, ossia moltiplicando l'area della superficie di base per l'altezza del prisma, che è la distanza tra i piani paralleli a cui appartengono le basi.

    Che il prisma sia obliquo, retto o regolare non cambia nulla: il volume di un prisma è dato dal prodotto tra l'area di base e la misura dell'altezza.

    L'unica differenza è che nel prisma retto (e in particolare nel prisma regolare) la misura dell'altezza coincide quella di ciascuno spigolo laterale, nel prisma obliquo no.

     

    Volume prisma

    Volume prisma = Sb·h.

     

    Formula per il volume di un prisma

    Indichiamo con V il volume, con S_b l'area di base e con h l'altezza. La formula per calcolare il volume di un prisma qualsiasi (retto, obliquo o regolare) è la seguente

    V=S_b \times h

    A seconda dello specifico tipo di prisma che si sta considerando (triangolare, quadrangolare, pentagonale, esagonale, ecc...) l'area di base si calcola con la formula per l'area del poligono alla base del prisma.

    Nel formulario sul prisma retto trovate un elenco con tutte le formule, comprese quelle inverse del volume.

    Esercizi svolti sul volume di un prisma

    Qui di seguito potete leggere diversi problemi svolti sul calcolo del volume di un prisma; abbiamo commentato tutti i passaggi, svolto tutti i calcoli e fornito ogni spiegazione utile per giungere alla soluzione.

    1) Un prisma triangolare ha per base un triangolo scaleno i cui lati misurano 1,3 cm, 3,7 cm e 4 cm. Calcolare il volume del prisma sapendo che la sua altezza è il triplo del perimetro del triangolo.

    Svolgimento: la base del prisma è un triangolo di cui sono note le misure dei lati

    \\ a=1,3 \mbox{ cm} \\ \\ b=3,7 \mbox{ cm} \\ \\ c=4 \mbox{ cm}

    Possiamo allora calcolarne l'area con la formula di Erone

    S_b=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

    dove p è il semiperimetro, cioè la metà del perimetro del triangolo

    \\ 2p=a+b+c=1,3 \mbox{ cm} + 3,7 \mbox{ cm} + 4 \mbox{ cm} = 9 \mbox{ cm} \\ \\ p=\frac{2p}{2}=\frac{9 \mbox{ cm}}{2} = 4,5 \mbox{ cm}

    Dunque

    \\ S_b=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\ \\ = \sqrt{(4,5 \mbox{ cm}) \times (4,5 \mbox{ cm} - 1,3 \mbox{ cm}) \times (4,5 \mbox{ cm} - 3,7 \mbox{ cm}) \times (4,5 \mbox{ cm} - 4 \mbox{ cm})}= \\ \\ =\sqrt{(4,5 \mbox{ cm}) \times (3,2 \mbox{ cm}) \times (0,8 \mbox{ cm}) \times (0,5 \mbox{ cm})} = \\ \\ = \sqrt{5,76 \mbox{ cm}^4} = 2,4 \mbox{ cm}^2

    Per determinare il volume ci manca la misura dell'altezza del prisma, che è il triplo del perimetro di base

    h=3 \times 2p = 3 \times (9 \mbox{ cm}) = 27 \mbox{ cm}

    In definitiva

    V=S_b \times h = (2,4 \mbox{ cm}^2) \times (27 \mbox{ cm}) = 64,8 \mbox{ cm}^3

    2) Determinare il volume di un prisma esagonale regolare di cui è noto che lo spigolo di base misura 12 mm e che l'altezza del prisma è di 60 mm.

    Svolgimento: la base del prisma è un esagono regolare; conoscendo la misura dello spigolo di base (lato dell'esagono)

    L=12 \mbox{ mm}

    possiamo calcolare l'area di base (area dell'esagono) moltiplicando il quadrato del lato per la costante d'area (\varphi = 2,598)

    S_b = L^2 \times \varphi = (12 \mbox{ mm})^2 \times 2,598 = \\ \\ = (144 \mbox{ mm}^2) \times 2,598 = 374,112 \mbox{ mm}^2

    Abbiamo tutto quello che ci serve per determinare il volume del prisma

    V=S_b \times h = (374,112 \mbox{ mm}^2) \times (60 \mbox{ mm}) = 22446,72 \mbox{ mm}^3

    3) Calcolare il volume di un prisma retto a base quadrata sapendo che la sua diagonale è di 17 metri e che l'altezza del prisma misura 15 metri.

    Svolgimento: indichiamo con D la diagonale del prisma, con L il lato e con d la diagonale del quadrato di base.

    La diagonale del prisma è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono l'altezza del prisma e la diagonale di base, quindi per il teorema di Pitagora

    D^2=d^2+h^2

    Invertiamo la precedente relazione in favore di d

    \\ d=\sqrt{D^2-h^2}=\sqrt{(17 \mbox{ m})^2 - (15 \mbox{ m})^2} = \\ \\ = \sqrt{289 \mbox{ m}^2 - 225 \mbox{ m}^2} = \sqrt{64 \mbox{ m}^2} = 8 \mbox{ m}

    Calcoliamo poi la misura del lato del quadrato dividendo la misura della diagonale per la radice quadrata di 2,

    L=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{8 \mbox{ m}}{\sqrt{2}}=

    razionalizzando

    =\frac{8 \mbox{ m}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2} \mbox{ m}}{2} = 4\sqrt{2} \mbox{ m}

    Determiniamo l'area del quadrato elevando il lato alla seconda

    S_b=L^2 = (4\sqrt{2} \mbox{ m})^2 = 32 \mbox{ m}^2

    e concludiamo l'esercizio calcolando il volume del prisma come prodotto tra area di base e altezza

    V=S_b \times h = (32 \mbox{ m}^2) \times (15 \mbox{ m}) = 480 \mbox{ m}^3

    4) La base di un prisma quadrangolare è un rombo le cui diagonali misurano 6 dm e 8 dm. L'altezza del prisma è il quadruplo del lato di base. Calcolarne il volume.

    Svolgimento: essendo note le misure delle diagonali del rombo

    \\ d=6 \mbox{ dm} \\ \\ D=8 \mbox{ dm}

    possiamo trovare l'area di base (area del rombo)

    S_b=\frac{d \times D}{2} = \frac{(6 \mbox{ dm}) \times (8 \mbox{ dm})}{2} = \frac{48 \mbox{ dm}^2}{2}=24 \mbox{ dm}^2

    e la misura dello spigolo di base con il teorema di Pitagora

    \\ L=\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{D}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{6 \mbox{ dm}}{2}\right)^2 + \left(\frac{8 \mbox{ dm}}{2}\right)^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{(3 \mbox{ dm})^2+(4 \mbox{ dm})^2} = \sqrt{9 \mbox{ dm}^2 + 16 \mbox{ dm}^2} = \\ \\ = \sqrt{25 \mbox{ dm}^2} = 5 \mbox{ dm}

    per poi calcolare la misura dell'altezza del prisma

    h=4L = 4 \times (5 \mbox{ dm}) = 20 \mbox{ dm}

    e concludere determinando il volume

    V=S_b \times h = (24 \mbox{ dm}^2) \times (20 \mbox{ dm}) = 480 \mbox{ dm}^3

    ***

    È tutto! Per altri problemi svolti potete usare la barra di ricerca interna o consultare la scheda di esercizi sul prisma. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Geometria