Soluzioni
  • Ciao, il calcolo dell'integrale del modulo di x è un po' particolare. In realtà per determinarlo ci vuole più ragionamento che calcoli, dunque vediamo come fare...

    \int{|x|dx}

    Cerchiamo una funzione primitiva F(x) la cui derivata F'(x) sia proprio la funzione integranda, cioè F'(x)=|x|. Ricordiamo brevemente com'è definito il valore assoluto di x:

    |x|=\begin{cases}+x\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -x\mbox{ se }x<0\end{cases}

    Se introduciamo la funzione segno y=\mbox{sgn}(x), definita da

    \mbox{sgn}(x)=\begin{cases}+1\mbox{ se }x>0\\ 0\mbox{ se }x=0\\ -1\mbox{ se }x<0\end{cases}

    possiamo riscrivere il valore assoluto in una forma più compatta, che tra l'altro si presta benissimo per la derivazione

    |x|=x\cdot\mbox{sgn}(x)

    Morale: calcolare l'integrale del valore assoluto equivale a calcolare

    \int{|x|dx}=\int{x\cdot\mbox{sgn}(x)dx}

    Guardiamo l'integranda dritta nelle palle degli occhi: essa è data dal prodotto di due funzioni. Riusciamo a integrare per parti? Eccome se riusciamo! Prendiamo g'(x)=x come derivata e h(x)=\mbox{sgn}(x) come primitiva. Applichiamo la formula di integrazione per parti

    \int{g'(x)h(x)dx}=g(x)h(x)-\int{g(x)h'(x)dx}

    Il più è fatto: dobbiamo solo osservare che la derivata della funzione segno è zero, perché essa è una funzione costante a tratti, dunque h'(x)=0 e

    \int{x\cdot\mbox{sgn}(x)dx}=\frac{x^2}{2}\mbox{sgn}(x)-\int{\frac{x^2}{2}\cdot 0 dx}

    In conclusione l'integrale di |x| vale

    \int{|x|dx}=\int{x\cdot\mbox{sgn}(x)dx}=\frac{x^2}{2}\mbox{sgn}(x)+c

    dove c è la costante arbitraria che individua tutte le possibili primitive della famiglia di primitive. Volendo possiamo ricordare ancora una volta che |x|=x\cdot\mbox{sgn}(x) e riscrivere l'integrale del modulo nella forma

    \int{|x|dx}=\frac{x|x|}{2}+c

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi