Soluzioni
  • L'integrale del seno, o meglio l'integrale del seno di x, è uguale all'opposto del coseno di x più una costante arbitraria e si calcola applicando la definizione di integrale indefinito.

    \int \sin(x) dx = -\cos(x) + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    Calcolo dell'integrale del seno

    In generale, per calcolare l'integrale indefinito di una funzione f(x)

    \int f(x) dx

    basta trovare una primitiva F(x) di f(x), ossia una funzione la cui derivata prima sia uguale a f(x), e sommarvi una costante arbitraria c \in \mathbb{R} che serve a descrivere tutte le possibili primitive di f(x).

    In una formula:

    \int f(x) dx = F(x) + c \ \ \mbox{ con } F'(x)=f(x)

    Il nostro obiettivo è calcolare l'integrale del seno di x

    \int \sin(x) dx

    dunque dobbiamo cercare una funzione F(x) la cui derivata prima sia uguale a \sin(x).

    Per riuscirci basta avere un po' di dimestichezza con le derivate notevoli e ricordare che la derivata del coseno è il seno cambiato di segno

    \frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)

    Ci siamo quasi! La funzione che ci interessa è

    F(x)=-\cos(x)

    infatti se usiamo la regola di derivazione di una funzione per una costante e ne calcoliamo la derivata prima, otteniamo

    F'(x)=\frac{d}{dx}[-\cos(x)] = \\ \\ \\ =-\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -(-\sin(x)) = \\ \\ \\ =\sin(x)=f(x)

    In definitiva una primitiva di f(x)=\sin(x) è F(x)=-\cos(x), e per quanto scritto in precedenza l'integrale indefinito del seno di x è uguale a -cos(x) più una costante.

    \int \sin(x) dx = -\cos(x) + c, \ \ \ c \in \mathbb{R}

    ***

    L'integrale del seno va annoverato a pieno titolo tra i cosiddetti integrali notevoli. Se vuoi capire cosa sono, o se ti serve una tabella di riepilogo, ti rimandiamo alla pagina dell'omonimo link.

    Se invece vuoi fare un ripasso di tutte proprietà della funzione seno - click!

    Da ultimo ti segnaliamo il tool sugli integrali indefiniti online, da usare per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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