Soluzioni
  • Buonasera, per cominciare parto dal risultato che ti interessa: l'integrale del seno è dato dal coseno cambiato di segno

    \int{\sin{(x)}dx}=-\cos{(x)}+c

    dove nell'uguaglianza c è una costante arbitraria che serve a descrivere tutte le possibili primitive della funzione integranda. Se la precedente frase dovesse suonarti strana, ti invito a leggere la spiegazione sugli integrali indefiniti.

    Come ricaviamo l'integrale del seno? La buona notizia è che non serve nemmeno mezzo calcolo, basta ragionare sulla definizione di integrale. Posto f(x)=\sin{(x)} cerchiamo una primitiva per f(x), cioè una funzione F(x) la cui derivata coincide con f(x)

    F(x)=?\ \Rightarrow\ F'(x)=\sin{(x)}

    Ci siamo molto più vicini di quanto non si possa credere, infatti dobbiamo solo avere un po' di dimestichezza con le derivate notevoli e ricordare che la derivata del coseno è il seno cambiato di segno

    \frac{d}{dx}\ \cos{(x)}=-\sin{(x)}

    Ci siamo vicinissimi: con un piccolo barbatrucco basato sulla regola di derivazione di una funzione per una costante, deriviamo il coseno cambiato di segno

    \frac{d}{dx}\ [-\cos{(x)}]=-\frac{d}{dx}\ \cos{(x)}=-[-\sin{(x)}]=\sin{(x)}

    e abbiamo trovato una funzione la cui derivata coincide con il seno: F(x)=-\cos{(x)}.

    Ti suggerisco di dare un'occhiata alla tabella degli integrali fondamentali - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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