Logaritmo di 1/e

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Quanto vale logaritmo di 1/e, e come si calcola? Non ho capito quali proprietà si devono usare per trovare il valore del logaritmo naturale di 1/e.

 

Oltre a questo vorrei sapere se esiste un modo per calcolare il logaritmo in base a di 1/e, indipendentemente dalla base del logaritmo.

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • Il logaritmo di 1/e si calcola in modi diversi, a seconda del valore della base del logaritmo: se la base è il numero di Nepero (e) o una sua potenza, allora il logaritmo di 1/e si calcola con la definizione di logaritmo; in caso contrario si deve usare una calcolatrice.

    Analizziamo i vari casi uno per volta.

    Logaritmo naturale di 1/e

    Il logaritmo naturale di 1/e, ossia il logaritmo in base e di 1/e, si può indicare con ln(1/e) oppure con log(1/e) e vale -1.

    ln((1)/(e)) = log((1)/(e)) = -1

    Per calcolare log((1)/(e)) basta usare la definizione di logaritmo.

    Essa stabilisce che il logaritmo in base a di un numero b, con a,b > 0 e a ≠ 1, è quel numero c a cui bisogna elevare la base a per ottenere b. In una formula:

    log_(a)(b) = c ⇔ a^c = b con a,b > 0 ; a ≠ 1

    Nel nostro caso la base è il numero di Nepero e e l'argomento è il suo reciproco, ossia (1)/(e)

    a = e ; b = (1)/(e)

    Per calcolare il logaritmo naturale di 1/e dobbiamo allora risolvere l'equazione esponenziale:

    e^c = (1)/(e)

    Riscriviamo (1)/(e) come potenza con esponente negativo

    e^c = e^(-1)

    e otteniamo un'equazione esponenziale elementare in cui basta uguagliare gli esponenti

    c = -1

    Ciò dimostra che il logaritmo naturale di 1/e è uguale a -1.

    Logaritmo in base a di 1/e

    Per il logaritmo in base a di (1)/(e) il discorso è più articolato, perché tutto dipende dalla base del logaritmo:

    • se si può scrivere come potenza di e, allora si può calcolare sempre con la definizione di logaritmo;

    • se non si può scrivere come potenza di e, allora si può lasciare espresso così com'è oppure calcolarne un'approssimazione con la calcolatrice.

    Esempi sul calcolo del logaritmo in base a di 1/e

    1) Calcolare il logaritmo in base e^3 di (1)/(e)

    log_(e^3)((1)/(e))

    Svolgimento: in questo caso la base del logaritmo è una potenza di e, pertanto possiamo usare la definizione di logaritmo.

    Come in precedenza impostiamo l'equazione esponenziale

    (e^3)^c = (1)/(e)

    e, servendoci delle proprietà delle potenze, riscriviamola nel modo seguente:

    e^(3c) = e^(-1)

    Uguagliamo gli esponenti e otteniamo l'equazione di primo grado

    3c = -1

    che ha come soluzione

    c = -(1)/(3)

    In definitiva

    log_(e^3)((1)/(e)) = -(1)/(3)

    2) Calcolare il logaritmo in base 10 di (1)/(e)

    log_(10)((1)/(e))

    Svolgimento: abbiamo un logaritmo in base 10, e poiché 10 non si può esprimere come potenza di e, possiamo lasciarlo in questa forma oppure determinarne un'approssimazione con la calcolatrice

    log_(10)((1)/(e)) ≃ -0,43429

    Volendo si può anche esprimere come logaritmo in base e applicando la formula del cambiamento di base dei logaritmi

    log_(10)((1)/(e)) = (log((1)/(e)))/(log(10)) = (-1)/(log(10)) = -(1)/(log(10))

    ***

    Concludiamo con il link al calcolatore di logaritmi, uno strumento online con cui puoi calcolare il logaritmo di qualsiasi numero e con una base qualsiasi.

    Risposta di Galois
 
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