Soluzioni
  • Più che "quanto vale il logaritmo di infinito" ha senso domandarsi "qual è il comportamento della funzione logaritmo all'infinito". Questo perché, come hai già osservato, una funzione si può valutare in corrispondenza di un valore reale del suo dominio.

    +\infty e -\infty non sono valori reali, dunque NON si può valutare \log{(+\infty)} o \log{(-\infty)}.

    Si può piuttosto parlare di comportamento di una funzione nell'intorno di più o meno infinito: attenzione però che la funzione deve essere definita nell'intorno di più o meno infinito. In altri termini il dominio deve essere illimitato inferiormente (contenere un intervallo della forma (-\infty,a)) nel caso di -\infty o illimitato superiormente (contenere un intervallo della forma (a,+\infty)) nel caso di +\infty.

    Prendiamo la funzione f(x)=\log_a{(x)}, con a positivo e diverso da 1.

    Indipendentemente dal valore della base a, il dominio di tale funzione è Dom(f)=(0,+\infty), perché l'argomento x deve essere positivo.

    Già da qui capiamo che ha senso parlare di comportamento del logaritmo a più infinito, mentre non ha senso parlare del comportamento del logaritmo a meno infinito.

    D'altra parte chiedersi "qual è l'andamento del logaritmo a più infinito" equivale a domandarsi quanto vale il

    \lim_{x\to +\infty}{\log_a{(x)}}

    e la risposta dipende dalla base a:

    - se abbiamo un logaritmo con base maggiore di 1, il precedente limite vale +\infty;

    - se abbiamo un logaritmo con base compresa tra 0 e 1, il precedente limite vale -\infty;

    (click sui link per vedere i relativi grafici)

    Nei rispettivi casi diremo, con abuso di linguaggio, che

    - "il logaritmo (con base maggiore di 1) di più infinito è più infinito";

    - "il logaritmo (con base compresa tra 0 e 1) di più infinito è meno infinito".

    Le precedenti osservazioni si estendono, con le dovute modifiche del caso, alle funzioni in generale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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