Soluzioni
  • La derivata di x è uguale a 1, ossia la derivata di f(x)=x è f'(x)=1; la derivata di x si può calcolare applicando la regola di derivazione di una potenza, oppure usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

    Il risultato a cui si giunge è sempre lo stesso, indipendentemente dal metodo scelto: la derivata prima di x è 1.

    \frac{d}{dx}[x]=1

    Calcolo della derivata di x

    Consideriamo la funzione identità

    f(x)=x

    e pensiamola come una funzione potenza con esponente uguale a 1

    f(x)=x^1

    Possiamo così applicare la regola di derivazione di una potenza

    \frac{d}{dx}\left[x^s\right]=s \cdot x^{s-1} \ \ \forall s \in \mathbb{R}

    e sostituire s=1

    \frac{d}{dx}\left[x^1\right]=1 \cdot x^{1-1} =1 \cdot x^0=

    Una potenza alla zero e con base diversa da zero è uguale a 1

    =1 \cdot 1 = 1

    Ciò conferma che la derivata di x è uguale a 1.

    Derivata di x con la definizione

    Se ancora non si conoscono le regole di derivazione, per calcolare la derivata di x basta applicare la definizione di derivata, ossia calcolare il limite del rapporto incrementale.

    Più esplicitamente basta applicare la formula

    f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Procediamo! Sostituiamo l'espressione analitica della funzione

    f(x)=x

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h)=x+h

    In questo modo otteniamo:

    \frac{d}{dx}[x]=\lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h}=

    Eliminiamo i monomi opposti x e -x

    =\lim_{h \to 0} \frac{h}{h}=

    e semplifichiamo

    =\lim_{h \to 0} 1=1

    Finito! Anche con la definizione di derivata, e molto più velocemente di quello che si poteva immaginare, abbiamo ottenuto che la derivata di x è uguale a 1.

    ***

    Concludiamo con alcuni riferimenti utili:

    - calcolo delle derivate, una lezione dedicata all'algebra delle derivate e alle regole di derivazione;

    - derivate fondamentali, dove trovi una tabella con tutte le derivate notevoli;

    - calcolo delle derivate online, uno strumento online con cui puoi verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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