Soluzioni
  • La derivata della cotangente è uguale all'opposto del reciproco del seno al quadrato di x, ossia la derivata di f(x)=cot(x) è f'(x)=-1/sin^2(x); il metodo più veloce per calcolarla è esprimere la cotangente come rapporto tra coseno e seno, e usare la formula della derivata del quoziente.

    \frac{d}{dx} [\cot(x)] = -\frac{1}{\sin^2(x)}

    Calcolo della derivata della cotangente

    Per calcolare la derivata della funzione cotangente

    y=\cot(x)

    usiamo la definizione trigonometrica di cotangente di un angolo come rapporto tra coseno e seno

    y=\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}

    Applichiamo la regola di derivazione di rapporto, secondo cui la derivata del rapporto di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore e il denominatore non derivato, il tutto fratto il denominatore elevato alla seconda:

    \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

    Nel nostro caso le funzioni f(x),g(x) sono rispettivamente la funzione coseno e la funzione seno

    f(x)=\cos(x) \ \ ; \ \ g(x)=\sin(x)

    Applichiamo la formula di derivazione del rapporto:

    \\ \frac{d}{dx} [\cot(x)] = \frac{d}{dx}\left[\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right] = \\ \\ \\ = \frac{\dfrac{d}{dx}\left[\cos(x)\right] \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \dfrac{d}{dx}\left[\sin(x)\right]}{(\sin(x))^2}= \ (\bullet)

    Le derivate di seno e coseno sono due derivate fondamentali che dovremmo conoscere:

    - la derivata di cos(x) è uguale a -sin(x)

    \frac{d}{dx}[\cos(x)] = - \sin(x)

    - la derivata di sen(x) è uguale a cos(x)

    \frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)

    Sostituiamole nella formula di derivazione nel punto in cui ci siamo fermati:

    \\ (\bullet) \ = \frac{-\sin(x) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} =

    Svolgiamo i prodotti

    =\frac{-\sin^2(x)-\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=

    e raccogliamo a fattor comune -1 a numeratore

    =\frac{-\left(\sin^2(x)+\cos^2(x)\right)}{\sin^2(x)}=

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria sappiamo che la somma tra il seno al quadrato di x e il coseno al quadrato di x è uguale a 1

    =\frac{-1}{\sin^2(x)}=-\frac{1}{\sin^2(x)}

    Ci siamo: la derivata prima della cotangente di x è uguale a -1/sin2(x)

    \frac{d}{dx} [\cot(x)] = -\frac{1}{\sin^2(x)}

    ***

    Abbiamo finito! Non ci resta che consigliarti qualche approfondimento:

    - la lezione sulle regole di derivazione;

    - la lezione derivate fondamentali;

    - il tool sul calcolo delle derivate online, per verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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