Derivata della cotangente

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Qual è la derivata della cotangente? Oltre al risultato vorrei sapere come si calcola la derivata della cotangente di x, ossia la derivata prima della funzione y=cot(x).

 

Si deve necessariamente ricorrere alla definizione di derivata o esiste un metodo più veloce? Eventualmente potreste dirmi qual è, e mostrarmi come si applica?


 

  • La derivata della cotangente è uguale all'opposto del reciproco del seno al quadrato di x, ossia la derivata di f(x)=cot(x) è f'(x)=-1/sin^2(x); il metodo più veloce per calcolarla è esprimere la cotangente come rapporto tra coseno e seno, e usare la formula della derivata del quoziente.

    (d)/(dx) [cot(x)] = -(1)/(sin^2(x))

    Calcolo della derivata della cotangente

    Per calcolare la derivata della funzione cotangente

    y = cot(x)

    usiamo la definizione trigonometrica di cotangente di un angolo come rapporto tra coseno e seno

    y = cot(x) = (cos(x))/(sin(x))

    Applichiamo la regola di derivazione di rapporto, secondo cui la derivata del rapporto di due funzioni è uguale al prodotto tra la derivata del numeratore e il denominatore non derivato, meno il prodotto tra il numeratore e il denominatore non derivato, il tutto fratto il denominatore elevato alla seconda:

    (d)/(dx)[(f(x))/(g(x))] = (f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x))/((g(x))^2)

    Nel nostro caso le funzioni f(x),g(x) sono rispettivamente la funzione coseno e la funzione seno

    f(x) = cos(x) ; g(x) = sin(x)

    Applichiamo la formula di derivazione del rapporto:

    (d)/(dx) [cot(x)] = (d)/(dx)[(cos(x))/(sin(x))] = ((d)/(dx)[cos(x)]·sin(x)-cos(x)·(d)/(dx)[sin(x)])/((sin(x))^2) = (•)

    Le derivate di seno e coseno sono due derivate fondamentali che dovremmo conoscere:

    - la derivata di cos(x) è uguale a -sin(x)

    (d)/(dx)[cos(x)] = -sin(x)

    - la derivata di sen(x) è uguale a cos(x)

    (d)/(dx)[sin(x)] = cos(x)

    Sostituiamole nella formula di derivazione nel punto in cui ci siamo fermati:

    (•) = (-sin(x)·sin(x)-cos(x)·cos(x))/(sin^2(x)) =

    Svolgiamo i prodotti

    = (-sin^2(x)-cos^2(x))/(sin^2(x)) =

    e raccogliamo a fattor comune -1 a numeratore

    = (-(sin^2(x)+cos^2(x)))/(sin^2(x)) =

    Per l'identità fondamentale della Trigonometria sappiamo che la somma tra il seno al quadrato di x e il coseno al quadrato di x è uguale a 1

    = (-1)/(sin^2(x)) = -(1)/(sin^2(x))

    Ci siamo: la derivata prima della cotangente di x è uguale a -1/sin2(x)

    (d)/(dx) [cot(x)] = -(1)/(sin^2(x))

    ***

    Abbiamo finito! Non ci resta che consigliarti qualche approfondimento:

    - la lezione sulle regole di derivazione;

    - la lezione derivate fondamentali;

    - il tool sul calcolo delle derivate online, per verificare i risultati degli esercizi.

    Autore: Giuseppe Carichino (Galois)
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