Derivata di una costante
Quanto vale la derivata di una costante e come si calcola? Sul mio libro c'è scritto che la derivata di una costante è zero e suggerisce di calcolarla usando la definizione di derivata, ma non mostra i passaggi, quindi non ho capito cosa devo fare.
Sareste così gentili da spiegarmi come si calcola la derivata di una funzione costante mostrando tutti i passaggi?
La derivata di una costante è uguale a zero, ossia la derivata di una funzione costante f(x)=c è f'(x)=0, e si calcola usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
![(d)/(dx)[costante] = 0](/images/joomlatex/1/9/197613437498f380fc7eead88f8a74fb.gif)
Prima di vedere come si calcola precisiamo che in Matematica con il termine costante si intende un qualsiasi numero, non importa quale esso sia.
Per intenderci un qualsiasi numero intero, una qualsiasi frazione, un qualunque numero irrazionale - compresi Pi Greco 
e il numero di Nepero 
- sono tutte costanti, e la loro derivata prima è zero.
Calcolo della derivata di una costante
Consideriamo una funzione costante
e scriviamo il rapporto incrementale in un qualsiasi punto 
del dominio
La derivata prima della funzione 
è il limite per 
che tende a zero del rapporto incrementale
Calcoliamolo!
Per prima cosa sostituiamo l'espressione analitica della funzione 
e la sua valutazione in 
. A tal proposito ricordiamo che una funzione costante è, per definizione, una funzione che assume lo stesso valore indipendentemente dalla considerata, dunque
Tornando al limite abbiamo
![(d)/(dx)[c] = lim_(h → 0) (f(x+h)−f(x))/(h) = lim_(h → 0) (c−c)/(h) =](/images/joomlatex/9/1/91a1447c10ad6fe971e0c81f25210ea8.gif)
il numeratore è zero, dunque tale è il limite:
Attenzione! Un errore comune è quello di considerare il precedente limite come una forma indeterminata del tipo ![[(0)/(0)]](data:image/gif;base64,R0lGODlhHAAtAOMAAP///wAAALa2tlBQUBYWFubm5oqKimJiYnR0dJ6eniIiIjAwMAQEBMzMzAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAAAcAC0AAATsEEgggg1j6q1uKJpAFORmTmTxhcTpbusknsaBHIkbS/OWKBOC4LSjtDiGCWJBBMmOmsBQkmA0WZtGoCErSoq9Lpe3NYGh5DGlDHPy0ADtFJDwAs7mnMRgNbuNJgoIEwdMflg+QBIEalF/YRo1BgN6h08vmHePcJmOiJ2Wb6BXl6Ntn6Zfm6mepRMesKGArKqoqXi0mramuBs1N5WnrhM/QXOtokhKhsLJUXNVpM4SWmoVf7XDa9ZsyLNi4M3f1FLEdr2vlXzS4xKChMzekFSKAIzs83sHk8HynKPobq3KFZDXIw8ZMnW4gC2XhggAOw==){kind=small}
, ma non è così. Il numeratore è esattamente 0 e non una quantità che tende a zero, dunque il limite è zero.
In definitiva, la derivata di una funzione costante è zero
![(d)/(dx) [c] = 0 ∀ c ∈ R](/images/joomlatex/b/3/b3b9e6922075feb8b5359be066e5189c.gif)
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Se sei all'inizio dello studio delle derivate, ti consigliamo di:
- leggere la lezione sul calcolo delle derivate;
- studiare e ricordare le derivate fondamentali;
- usare il tool sulle derivate online per controllare i risultati dei tuoi esercizi.