Soluzioni
  • Partiamo dalla formula per l'integrale della tangente di x

    \int{\tan{(x)}dx}=-\log{|\cos{(x)}|}+c

    Ci sono due modi del tutto equivalenti per determinare l'integrale di tan(x)

    \int{\tan{(x)}dx}

    In entrambi i casi dovremo innanzitutto riscrivere la tangente mediante la definizione trigonometrica

    \tan{(x)}=\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}

    e calcolare in modo del tutto equivalente

    \int{\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}dx}

    Primo metodo per calcolare l'integrale della tangente

    Il primo metodo per calcolare l'integrale di tg(x) prevede di applicare una ben nota formula di integrazione

    \int{\frac{f'(x)}{f(x)}dx}=\log{|f(x)|}+c

    ricorrendo a tale formula è sufficiente considerare f(x)=\cos{(x)} e osservare che la derivata del coseno è il seno cambiato di segno: f'(x)=-\sin{(x)}.

    Se "aggiustiamo" opportunamente l'integranda

    \int{\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}dx}=-\int{\left(\frac{-\sin{(x)}}{\cos{(x)}}\right)dx}=

    ci siamo:

    =-\int{\left(\frac{-\sin{(x)}}{\cos{(x)}}\right)dx}=-\log{|\cos{(x)}|}+c

    Secondo metodo per calcolare l'integrale della tangente

    La seconda strada si basa sul metodo di integrazione per sostituzione.

    Anche qui si riscrive la tangente con la definizione

    \int{\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}dx}

    dopodiché si pone y=\cos{(x)}.

    Il trucco (forse è questo che trae in inganno) riguarda il calcolo del differenziale dx: in questo caso non è necessario invertire la funzione di trasformazione, possiamo procedere per differenziazione diretta della legge di cambiamento della variabile

    y=\cos{(x)}\ \rightarrow\ dy=-\sin{(x)}dx

    da cui

    \sin{(x)}dx=-dy

    Dato che è proprio il termine che abbiamo a numeratore nell'integrale della tangente

    \int{\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}dx}

    possiamo limitarci a sostituirlo direttamente

    \int{\frac{-1}{y}dy}

    Ci siamo così ricondotti ad un semplicissimo integrale notevole

    \int{\frac{-1}{y}dy}=-\log{|y|}+c=

    ed effettuando la sostituzione y=\cos{(x)} troviamo lo stesso risultato del metodo 1)

    =-\log{|\cos{(x)}|}+c

    In definitiva l'integrale di tg(x) è

    \int{\tan{(x)}dx}=-\log{|\cos{(x)}|}+c

    PS: se hai necessità di calcolare gli integrali online - click!

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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