Volume della piramide: formula ed esercizi svolti

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Come si calcola il volume della piramide? Quali dati servono per determinare il volume di una piramide, obliqua, retta e regolare, indipendentemente dalla base?

Potreste riportare la formula del volume, mostrarmi qualche esempio di applicazione e degli esercizi svolti?

Il volume della piramide si calcola come V=Sb·h/3, ossia dividendo per 3 il prodotto tra l'area della superficie di base e l'altezza della piramide, che è il segmento che parte dal vertice della piramide esterno al piano di base e che cade perpendicolarmente sul piano di base.

Che la piramide sia obliqua, retta o regolare non fa alcuna differenza: il volume di una piramide si calcola sempre allo stesso modo.

L'unica differenza è che nella piramide retta (e in particolare in quella regolare) il piede dell'altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nella base, nella piramide obliqua no.

Volume piramide

Volume piramide = (Sb·h)/3.

Formula per il volume della piramide

La formula con cui si calcola il volume di una piramide qualsiasi (obliqua, retta o regolare) è la seguente:

V = (S_b×h)/(3)

dove V indica il volume, S_b l'area del poligono di base e h l'altezza della piramide.

Il calcolo dell'area di base dipende, ovviamente, dal tipo di poligono di base ed è utile tenere sotto mano le formule dell'area.

Per ogni genere di approfondimento sulla piramide e per un elenco di tutte le formule, comprese le formule inverse del volume, potete leggere il formulario del link.

Esercizi svolti sul volume della piramide

Quelli riportati qui di seguito sono problemi svolti sul volume della piramide, con tutti i calcoli, i commenti e le spiegazioni necessarie per risolvere ogni esercizio.

1) Le dimensioni di base di una piramide rettangolare misurano 9 cm e 3 cm e l'altezza della piramide è la metà del perimetro di base. Calcolare il volume.

Svolgimento: indichiamo con

a = 9 cm ; b = 3 cm

le misure delle dimensioni del rettangolo di base e calcoliamone area e il perimetro

S_b = a×b = (9 cm)×(3 cm) = 27 cm^2 ; 2p = 2(a+b) = 2×(9 cm+3 cm) = 2×(12 cm) = 24 cm

Possiamo poi determinare la misura dell'altezza della piramide, che è la metà del perimetro di base

h = (1)/(2)×2p = (1)/(2)×(24 cm) = 12 cm

e concludere calcolando il volume

V = (S_b×h)/(3) = ((27 cm^2)×(12 cm))/(3) = (324 cm^3)/(3) = 108 cm^3

2) Calcolare il volume di una piramide triangolare alta 24 dm e con base un triangolo isoscele avente il perimetro di 192 dm e un lato obliquo lungo 60 dm.

Svolgimento: nel triangolo isoscele alla base della piramide indichiamo con L il lato obliquo, con B la base e con H l'altezza.

Sappiamo che

L = 60 dm ; 2p = 192 dm

Dalla formula del perimetro del triangolo isoscele

2p = B+2L

possiamo calcolare la misura della base

B = 2p−2L = 192 dm−2×(60 dm) = 192 dm−120 dm = 72 dm

per poi determinare la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

H = √(L^2−((B)/(2))^2) = √((60 dm)^2−((72 dm)/(2))^2) = √((60 dm)^2−(36 dm)^2) = √(3600 dm^2−1296 dm^2) = √(2304 dm^2) = 48 dm

Fatto ciò calcoliamo l'area di base con la formula dell'area del triangolo

S_b = (B×H)/(2) = ((72 dm)×(48 dm))/(2) = (3456 dm^2)/(2) = 1728 dm^2

e il volume della piramide con la relativa formula

V = (S_b×h)/(3) = ((1728 dm^2)×(24 dm))/(3) = (41472 dm^3)/(3) = 13824 dm^3

3) Una piramide quadrangolare retta ha per base un rombo le cui diagonali misurano 3 metri e 4 metri. Calcolare il volume della piramide sapendo che l'area della superficie laterale è di 10 metri quadrati.

Svolgimento: siano

d = 3 m ; D = 4 m

le due diagonali del rombo. Conoscendone la misura si può determinare l'area del rombo

S_b = (d×D)/(2) = ((3 m)×(4 m))/(2) = (12 m^2)/(2) = 6 m^2

e lo spigolo di base con il teorema di Pitagora

L = √(((d)/(2))^2+((D)/(2))^2) = √(((3 m)/(2))^2+((4 m)/(2))^2) = √((1,5 m)^2+(2 m)^2) = √(2,25 m^2+4 m^2) = √(6,25 m^2) = 2,5 m

Calcoliamo poi il perimetro di base

2p = 4L = 4×(2,5 m) = 10 m

e ricaviamo l'apotema della piramide dall'area della superficie laterale

S_(lat) = (2p×a)/(2) ; a = (2S_(lat))/(2p) = (2×(10 m^2))/(10 m) = 2 m

Dopodiché troviamo il raggio della circonferenza inscritta nel rombo dividendo il doppio dell'area di base per il perimetro

r = (2 S_b)/(2p) = (2×(6 m^2))/(10 m) = (12 m^2)/(10 m) = 1,2 m

e la misura dell'altezza della piramide ricorrendo nuovamente al teorema di Pitagora

h = √(a^2−r^2) = √((2 m)^2−(1,2 m)^2) = √(4 m^2−1,44 m^2) = √(2,56 m^2) = 1,6 m

Abbiamo ora tutto quello che ci serve per calcolare il volume

V = (S_b×h)/(3) = ((6 m^2)×(1,6 m))/(3) = (9,6 m^3)/(3) = 3,2 m^3

4) L'apotema di una piramide regolare quadrangolare misura 13 mm e lo spigolo di base è lungo 10 mm. Calcolarne il volume.

Svolgimento: la base di una piramide regolare quadrangolare è un quadrato, quindi dalla misura dello spigolo di base

L = 10 mm

si può risalire all'area di base

S_b = L^2 = (10 mm)^2 = 100 mm^2

e al raggio della circonferenza inscritta nel quadrato

r = (L)/(2) = (10 mm)/(2) = 5 mm

Conoscendo la misura dell'apotema della piramide

a = 13 mm

determiniamo la misura dell'altezza con il teorema di Pitagora

h = √(a^2−r^2) = √((13 mm)^2−(5 mm)^2) = √(169 mm^2−25 mm^2) = √(144 mm^2) = 12 mm

e concludiamo calcolando il volume

V = (S_b×h)/(3) = ((100 mm^2)×(12 mm))/(3) = (1200 mm^3)/(3) = 400 mm^3

***

Se siete alla ricerca di altri problemi svolti vi rimandiamo alla nostra scheda di esercizi sulle piramidi - click!

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