Soluzioni
  • L'area dell'esagono è la misura della superficie compresa tra i sei lati dell'esagono. Per calcolare l'area di un esagono regolare basta moltiplicare il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area φ=2,598; in alternativa, si può applicare una delle tante formule che elencheremo tra un istante, scegliendo quella più opportuna a seconda dei dati a disposizione.

    Per l'esagono irregolare, invece, non esistono formule dirette. Si può solo cercare di scomporre l'esagono in poligoni di cui si sa calcolare l'area, per poi trovare quella dell'esagono come somma delle singole aree.

     

    Area esagono

    Area esagono regolare = L2 × φ

     

    Formule per l'area dell'esagono

    Nella seguente tabella trovate un elenco di tutte le formule con cui è possibile calcolare l'area dell'esagono regolare. Abbiamo indicato con A l'area, con 2p il perimetro, con a l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), con R il raggio della circonferenza circoscritta, con f il numero fisso e con \varphi la costante d'area.

     

    Area dell'esagono con lato e costante d'area (\varphi=2,598)

    A=L^2 \times \varphi

    Area dell'esagono con lato e numero fisso (f=0,866)

    A=3L^2 \times f

    Area dell'esagono con lato e apotema

    A=3L \times a

    Area dell'esagono con apotema e numero fisso

    A=\frac{3a^2}{f}

    Area dell'esagono con perimetro e apotema

    A=\frac{2p \times a}{2}

    Area dell'esagono con raggio della circonferenza circoscritta

    A=\frac{3\sqrt{3} \times R^2}{2}

     

    Per tutti gli approfondimenti sull'esagono e per un elenco completo delle formule, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo alla lezione dell'omonimo link.

    Esercizi svolti sull'area dell'esagono

    Passiamo agli esercizi e vediamo come risolvere le principali tipologie di problemi sul calcolo dell'area dell'esagono, analizzando le formule appena elencate una alla volta. Fatto ciò, vi mostreremo un problema svolto sull'area di un esagono irregolare.

    Calcolo area esagono con il lato

    Se conosciamo la misura del lato di un esagono regolare, per trovare l'area si possono applicare due formule. La scelta è indifferente: entrambe sono semplici da ricordare e permettono di trovare l'area in pochi semplici passaggi.

    Possiamo:

    - moltiplicare il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area (φ=2,598)

    A=L^2 \times \varphi

    - moltiplicare il triplo del quadrato del lato per il numero fisso dell'esagono (f=0,866)

    A=3L^2 \times f

    Esempio

    Il lato di un esagono regolare misura 12 centimetri; calcolarne l'area.

    Con la formula della costante d'area si ottiene

    \\ A=L^2 \times \varphi = (12 \mbox{ cm})^2 \times 2,598 = \\ \\ = 144 \mbox{ cm}^2 \times 2,598 = 374,112 \mbox{ cm}^2

    Si giunge allo stesso risultato scegliendo la formula con il numero fisso

    \\ A=3L^2 \times f = 3 \times (12 \mbox{ cm})^2 \times 0,866 = \\ \\ = 3 \times (144 \mbox{ cm}^2) \times 0,866 = 374,112 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area esagono con l'apotema

    Per calcolare l'area conoscendo la lunghezza dell'apotema basta dividere il triplo del quadrato della misura dell'apotema per il numero fisso

    A=\frac{3a^2}{f}

    Se oltre all'apotema è nota la misura del lato dell'esagono, si può calcolare l'area con la seguente formula

    A=3L \times a

    Esempio

    Trovare l'area di un esagono circoscritto a una circonferenza il cui raggio misura 11,258 metri.

    In generale se un poligono è circoscritto a una circonferenza allora la circonferenza è inscritta nel poligono, quindi la misura del raggio è la lunghezza dell'apotema dell'esagono

    a= 5 \mbox{ m}

    Possiamo così procedere al calcolo dell'area

    A=\frac{3a^2}{f} = \frac{3 \times (11,258 \mbox{ m})^2}{0,866} = \frac{380,227692 \mbox{ m}^2}{0,866} = 439,062 \mbox{ m}^2

    Un altro modo di procedere sarebbe stato quello di risalire alla misura del lato dividendo la lunghezza dell'apotema per il numero fisso

    L=\frac{a}{f} = \frac{11,258 \mbox{ m}}{0,866} = 13 \mbox{ m}

    e, infine, calcolare l'area moltiplicando il quadrato del lato per la costante d'area

    A=L^2 \times \varphi = (13 \mbox{ m})^2 \times 2,598 = 169 \mbox{ m}^2 \times 2,598 = 439,062 \mbox{ m}^2

    Calcolo area esagono con il perimetro

    Se si dispone della misura del perimetro di un esagono regolare, per ricavare l'area è sufficiente:

    - calcolare la misura del lato dividendo il perimetro per 6;

    - trovare l'area come prodotto tra il quadrato della lunghezza del lato e la costante d'area.

    Se oltre al perimetro viene fornita la misura dell'apotema, si può calcolare l'area usando la formula:

    A=\frac{2p \times a}{2}

    Esempio

    Calcolare l'area di un esagono regolare sapendo che il suo perimetro misura 120 decimetri.

    Troviamo la misura del lato dividendo il perimetro per 6

    L=\frac{2p}{6} = \frac{120 \mbox{ dm}}{6} = 20 \mbox{ dm}

    per poi calcolare l'area

    A=L^2 \times \varphi = (20 \mbox{ dm})^2 \times 2,598 = 400 \mbox{ dm}^2 \times 2,598 = 1039,2 \mbox{ dm}^2

    Calcolo area esagono inscritto

    Se un esagono regolare è inscritto in una circonferenza, la misura del raggio della circonferenza circoscritta coincide con la lunghezza del lato

    R=L

    Pertanto, se si conosce la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta, si può calcolare l'area usando una delle due formule per il calcolo dell'area con il lato.

    In alternativa, si può moltiplicare il quadrato della misura del raggio per 3√3 e dividere il tutto per 2.

    A=\frac{3\sqrt{3} \times R^2}{2}

    Esempio

    Trovare l'area di un esagono inscritto in una circonferenza il cui raggio misura 5,5 metri.

    \\ A=\frac{3\sqrt{3} \times R^2}{2} = \frac{3\sqrt{3} \times (5,5 \mbox{ m})^2}{2} = \\ \\ \\ = \frac{3\sqrt{3} \times 30,25 \mbox{ m}^2}{2} \simeq \frac{157,18}{2} = 78,59 \mbox{ m}^2

    Lasciamo a voi il compito di verificare che si giunge allo stesso risultato usando le due formule per il calcolo dell'area con il lato.

    Area di un esagono irregolare

    Per calcolare l'area di un esagono irregolare bisogna scomporre l'esagono in poligoni di cui si conoscono le formule per l'area, trovare le aree di tali poligoni e sommarle.

    Esempio

    Calcolare l'area del seguente esagono irregolare:

     

    Area esagono irregolare

     

    Tracciamo il segmento che unisce i vertici D e F; l'esagono è stato così diviso in un triangolo rettangolo di vertici E, \ D, \ F e in un trapezio rettangolo i cui vertici sono A, \ B, \ C, \ D.

    L'area dell'esagono è data dalla somma delle aree di triangolo e trapezio.

    Del triangolo rettangolo, sono note le misure dei due cateti

    \\ \overline{EF} = 4 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{ED} = 3 \mbox{ cm}

    Possiamo quindi calcolarne l'area:

    A_{DEF}=\frac{\overline{EF} \times \overline{ED}}{2} = \frac{(4 \mbox{ cm}) \times (3 \mbox{ cm})}{2} = \frac{12 \mbox{ cm}^2}{2} = 6 \mbox{ cm}^2

    Passiamo al trapezio rettangolo, di cui conosciamo la misura dell'altezza e la lunghezza della base minore

    \\ \overline{AB} = 7 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{BC} = 11 \mbox{ cm}

    Per trovare l'area ci manca la misura della base maggiore

    \overline{AD} = \overline{AF} + \overline{FD}

    FD è ipotenusa del triangolo rettangolo di vertici E, \ D, \ F, quindi possiamo trovarne la misura con il teorema di Pitagora

    \\ \overline{FD}=\sqrt{\overline{EF}^2 + \overline{ED}^2} = \sqrt{(4 \mbox{ cm})^2+(3 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2 + 9 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    Di conseguenza

    \overline{AD} = \overline{AF} + \overline{FD} = 9 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} = 14 \mbox{ cm}

    Possiamo ora trovare l'area del trapezio rettangolo

    \\ A_{ABCD} = \frac{(\overline{AD}+\overline{BC}) \times \overline{AB}}{2} = \frac{(14 \mbox{ cm} + 11 \mbox{ cm}) \times (7 \mbox{ cm})}{2} = \\ \\ \\ = \frac{25 \mbox{ cm} \times 7 \mbox{ cm}}{2} = \frac{175 \mbox{ cm}^2}{2} = 87,5 \mbox{ cm}^2

    Dalla somma delle due aree di trapezio e triangolo si ottiene l'area dell'esagono

    A_{ABCDEF}=A_{ABCD}+A_{DEF} = 87,5 \mbox{ cm}^2 + 6 \mbox{ cm}^2 = 93,5 \mbox{ cm}^2

    ***

    Se vi occorrono altri esercizi svolti sull'esagono potete consultare la pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
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