Soluzioni
  • La derivata di una potenza è uguale al prodotto tra l'esponente della potenza iniziale e la potenza iniziale con esponente ridotto di 1, ossia la derivata della funzione potenza f(x)=x^n con n numero intero è f'(x)=n·x^(n-1).

    \frac{d}{dx}\left[x^n\right] = n \cdot x^{n-1} \ \ \ \forall n \in \mathbb{Z}

    La stessa formula si estende anche al caso in cui l'esponente è un numero reale. La derivata di una funzione potenza del tipo f(x)=x^s, con s \in \mathbb{R}, è uguale al prodotto tra l'esponente s e la funzione x^{s-1}

    \frac{d}{dx}\left[x^s\right] = s \cdot x^{s-1} \ \ \ \forall s \in \mathbb{R}

    Esempi sul calcolo della derivata di una potenza

    Facciamo qualche esempio e calcoliamo le derivate delle seguenti funzioni:

    f(x)=x^2 \\ \\ g(x)=x^{-3} \\ \\ z(x)=x^{\pi}

    In tutti e tre i casi ci basta moltiplicare l'esponente per la funzione che si ottiene sottraendo 1 all'esponente iniziale:

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[x^2\right] = 2 \cdot x^{2-1} = 2 \cdot x^1 = 2x \\ \\ \\ g'(x)=\frac{d}{dx}\left[x^{-3}\right] = -3 \cdot x^{-3-1} = -3x^{-4} \\ \\ \\ z'(x)=\frac{d}{dx}\left[x^{\pi}\right] = \pi \cdot x^{\pi-1} = \pi x^{\pi-1}

    Dimostrazione della formula della derivata di una potenza

    Per dimostrare la formula di derivazione di una potenza consideriamo il caso più generale possibile, che è quello in cui l'esponente è un numero reale.

    Dimostriamo quindi la formula

    \frac{d}{dx}\left[x^s\right] = s \cdot x^{s-1} \ \ \ \forall s \in \mathbb{R}

    Sia s \in \mathbb{R} un numero reale e consideriamo la funzione potenza

    f(x)=x^s

    Scriviamo il rapporto incrementale in un qualsiasi punto x del dominio

    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    La derivata prima della funzione f(x) è il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale

    f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo l'espressione analitica della funzione

    f(x)=x^s

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h)=(x+h)^s

    Otteniamo:

    \frac{d}{dx}\left[x^s\right]=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^s-x^s}{h}=

    Come abbiamo anticipato, x è un qualsiasi punto del dominio della funzione f(x)=x^s. Per non complicare inutilmente la dimostrazione supponiamo che sia x \neq 0. Il caso x=0 si tratta a parte, a seconda della potenza x^s che si considera: per qualsiasi esponente s\leq 0 il punto x=0 non apparterrebbe infatti al dominio.

    Nella nostra ipotesi possiamo raccogliere a fattor comune x^s a numeratore:

    = \lim_{h \to 0}\frac{x^s \left(\dfrac{(x+h)^s}{x^s}-1\right)}{h}=

    Il primo termine nella coppia di parentesi tonde è un rapporto tra due potenze con lo stesso esponente, dunque possiamo scriverlo come potenza di una frazione

    =\lim_{h \to 0}\frac{x^s \left(\left(\dfrac{x+h}{x}\right)^s-1\right)}{h}=

    Dividiamo termine a termine

    =\lim_{h \to 0}\frac{x^s \left(\left(\dfrac{x}{x}+\dfrac{h}{x}\right)^s-1\right)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{x^s \left(\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^s-1\right)}{h}= \ (\bullet)

    Cerchiamo ora di ricondurci al limite notevole della potenza con differenza

    \lim_{z \to 0} \frac{(1+z)^c-1}{z}=c

    Poniamo z=\frac{h}{x}, da cui otteniamo h=zx, e osserviamo che per h che tende a zero anche z tende a zero:

    (\bullet)=\lim_{z \to 0} \frac{x^s \left(\left(1+z\right)^s-1\right)}{zx}=

    Calcoliamo il rapporto tra x^s e x

    =\lim_{z \to 0} \frac{x^{s-1} \left(\left(1+z\right)^s-1\right)}{z}=

    e portiamo x^{s-1} fuori dal limite, perché non dipende da z

    =x^{s-1} \cdot \lim_{z \to 0} \frac{\left(1+z\right)^s-1}{z}=x^{s-1} \cdot s

    Abbiamo così dimostrato che la derivata della funzione potenza f(x)=x^s è uguale a s \cdot x^{s-1}

    \frac{d}{dx}\left[x^s\right] = s \cdot x^{s-1} \ \ \ \forall s \in \mathbb{R}

    Derivata della potenza di una funzione

    Per calcolare la derivata di una funzione elevata a potenza basta applicare il teorema di derivazione delle funzioni composte, da cui si ottiene che la derivata di [f(x)]^s, con s \in \mathbb{R}, è uguale al prodotto tra l'esponente s, la potenza iniziale con esponente ridotto di 1 e la derivata di f(x).

    \frac{d}{dx}\left(\left[f(x)\right)^s\right] = s \cdot (f(x))^{s-1} \cdot \frac{d}{dx}\left[f(x)\right]\ \ \forall s \in \mathbb{R}

    Per non lasciare spazio a dubbi o a fraintendimenti facciamo un esempio e calcoliamo la derivata del seno al quadrato di x:

    \frac{d}{dx}\left[\sin^2(x)\right]=

    Applichiamo la formula per la derivata della potenza di una funzione qualsiasi e sostituiamo f(x)=\sin(x) e s=2

    = 2 \cdot \sin^{2-1}(x) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x)]=

    la derivata di sin(x) è cos(x)

    =2 \sin(x)\cos(x)

    e abbiamo finito.

    ***

    È tutto, o quasi! Ecco qualche spunto di approfondimento:

    - regole di derivazione;

    - tabella delle derivate fondamentali;

    - tool per il calcolo delle derivate online.

    Ti segnaliamo anche la lezione sulle potenze e due pagine di riepilogo sulla funzione potenza con esponente naturale:

    - funzione potenza con esponente pari;

    - funzione potenza con esponente dispari.

    Risposta di Galois
 
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