Soluzioni
  • L'area del settore circolare è l'area della porzione di cerchio delimitata dai due raggi e dall'arco di circonferenza che individuano il settore circolare.

     

    Area settore circolare

     

    Formule area settore circolare

    Ci sono tre formule che permettono di calcolare l'area di un settore circolare, del tutto equivalenti tra loro. Prima di vedere quali sono specifichiamo il significato dei simboli: A indica l'area, r il raggio, L l'arco di circonferenza sotteso dal settore circolare, \beta l'angolo al centro che insiste sull'arco L.

     

    Area settore circolare con raggio e misura dell'arco

    A=\frac{L \times r}{2}

    Area settore circolare con raggio e angolo espresso in gradi

    A=\pi r^2 \times \frac{\beta}{360^{\circ}}

    Area del settore circolare con raggio e angolo espresso in radianti

    A=\frac{r^2 \beta}{2}

     

    Per tutte le formule, comprese le formule inverse dell'area del settore circolare, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti area settore circolare

    Passiamo agli esercizi e vediamo come si risolvono i problemi sull'area di un settore circolare, analizzando le tre formule e proponendo qualche esempio di applicazione in cui abbiamo svolto tutti i calcoli e commentato i vari passaggi.

    Calcolo area settore circolare con raggio e arco

    Per calcolare l'area conoscendo le misure di arco e raggio si deve moltiplicare la misura del raggio per quella dell'arco e dividere il tutto per 2.

    A=\frac{L \times r}{2}

    Esempio

    L'arco di circonferenza che individua un settore circolare misura 8 centimetri e il suo raggio è lungo 3 centimetri. Calcolare l'area del settore.

    A=\frac{L \times r}{2} = \frac{(8 \mbox{ cm}) \times (3 \mbox{ cm})}{2} = \frac{24 \mbox{ cm}^2}{2} = 12 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area settore circolare con raggio e angolo espresso in gradi

    Se sono note la misura del raggio e l'ampiezza dell'angolo al centro espressa in gradi, l'area del settore circolare si ottiene dividendo l'ampiezza dell'angolo per 360° e moltiplicando il numero ottenuto per Pi Greco e per il quadrato del raggio. In formule:

    A=\pi r^2 \times \frac{\beta}{360^{\circ}}

    Esempio

    Calcolare l'area di un settore circolare avente un ampiezza di 40° e appartenente a un cerchio il cui perimetro misura 12 decimetri.

    Dalla formula del perimetro del cerchio

    2p=2\pi r

    possiamo ricavare la misura del raggio

    r=\frac{2p}{2 \pi}=\frac{12 \mbox{ dm}}{2 \pi} = \frac{6}{\pi} \mbox{ dm}

    Conoscendo l'ampiezza dell'angolo espressa in gradi

    \beta=40^{\circ}

    abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare l'area del settore circolare

    \\ A=\pi r^2 \times \frac{\beta}{360^{\circ}} = \pi \times \left(\frac{6}{\pi} \mbox{ dm}\right)^2 \times \frac{40^{\circ}}{360^{\circ}} = \\ \\ \\ = \pi \times \left(\frac{36}{\pi^2} \mbox{ dm}^2\right )\times \frac{1}{9} = \frac{36}{\pi}\mbox{ dm}^2 \times \frac{1}{9} = \frac{36}{9 \pi} \mbox{ dm}^2 \simeq \\ \\ \\ \simeq \frac{36}{28,26} \mbox{ dm}^2 \simeq 1,27 \mbox{ dm}^2

    Nei calcoli abbiamo sostituito il valore approssimato \pi \simeq 3,14.

    Calcolo ara settore circolare con raggio e angolo espresso in radianti

    Se l'angolo è espresso in radianti e si conosce la misura del raggio, l'area del settore circolare è data dal semiprodotto tra il quadrato del raggio e l'angolo.

    A=\frac{r^2 \beta}{2}

    Esempio

    L'area di un cerchio è di 28,26 metri quadrati. Calcolare l'area di un suo settore circolare sapendo che l'angolo che lo definisce ha un ampiezza di π/3.

    Per trovare l'area del settore circolare ci serve il quadrato della misura del raggio, che possiamo ricavare dalla formula dell'area del cerchio

    \\ A_{cerchio}=\pi r^2 \\ \\ r^2 = \frac{A_{cerchio}}{\pi} \simeq \frac{28,26 \mbox{ m}^2}{3,14} \simeq 9 \mbox{ m}^2

    Dopodiché possiamo calcolare l'area del settore circolare

    A=\frac{r^2 \beta}{2} = \frac{9 \mbox{ m}^2 \times \frac{\pi}{3}}{2} = \frac{3\pi \mbox{ m}^2}{2} \simeq \frac{(3 \times 3,14) \mbox{ m}^2}{2} \simeq 4,71 \mbox{ m}^2

    ***

    Se vi occorrono altri esercizi svolti potete consultare la nostra scheda di esercizi sul settore circolare.

    Risposta di Galois
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