Soluzioni
  • La derivata del seno, o meglio la derivata di sin(x), è uguale al coseno di x ed è una derivata notevole. In quanto tale la derivata del seno si calcola una volta per tutte con la definizione di derivata, e da quel momento in poi si consiglia di ricordarne il valore a memoria.

    \frac{d}{dx}[\sin(x)]=\cos(x)

    Dimostrazione della formula di derivazione del seno

    Per dimostrare che la derivata di sin(x) è uguale a cos(x) o, in altri termini, per calcolare la derivata di sen(x) si usa la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

    \frac{d}{dx}[f(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Procediamo! Sostituiamo f(x)=\sin(x) e la sua valutazione in x+h

    \frac{d}{dx}[\sin(x)] = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}=

    Per la formula di addizione del seno:

    = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)}{h}=

    Raccogliamo a fattor comune \sin(x) tra il primo e il terzo termine

    = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\sin(h)}{h}=

    e scriviamo l'argomento del limite come somma tra frazioni

    = \lim_{h \to 0} \left(\frac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}\right)=

    Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, in accordo con l'Algebra dei limiti:

    = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}=\ (\bigstar)

    A questo punto, calcoliamo i due limiti separatamente. Partiamo dal primo:

    \bullet\ \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}=

    Poiché il fattore \sin(x) non dipende da h, possiamo portarlo fuori dal limite

    = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}=

    Quest'ultimo limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] e per risolverlo moltiplichiamo numeratore e denominatore per h

    \\ = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{(\cos(h)-1) \cdot h}{h \cdot h}= \\ \\ \\ =\sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left(\frac{\cos(h)-1}{h^2} \cdot h\right)=

    Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    =\sin(x) \cdot \left(\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h^2} \cdot \lim_{h \to 0} h\right)=

    Il primo è, a meno del segno, il limite notevole del coseno e vale -1/2, mentre l'altro è uguale a zero

    =\sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{2} \cdot 0\right)= 0

    Abbiamo così ottenuto che

    \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1)}{h}=0

    Passiamo ora al secondo limite:

    \bullet\ \ \lim_{h \to 0}\frac{\cos(x)\sin(h)}{h}=

    Portiamo \cos(x) fuori dal limite perché non dipende da h

    =\cos(x) \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=

    ed ecco che rimane il limite notevole del seno, che vale 1

    =\cos(x) \cdot 1 = \cos(x)

    Torniamo al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti

    (\bigstar) \ = 0 + \cos(x) = \cos(x)

    Ci siamo! Abbiamo dimostrato che la derivata di sin(x) è uguale a cos(x)

    \frac{d}{dx}[\sin(x)]=\cos(x)

    Derivata del seno di una funzione

    In accordo con il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata del seno di una funzione f(x) è uguale al coseno di f(x) per la derivata di f(x)

    \frac{d}{dx}[\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot f'(x)

    Facciamo un esempio e calcoliamo la derivata del seno di 2x.

    \frac{d}{dx} [\sin(2x)]=

    Usiamo la precedente formula e sostituiamo f(x) con 2x

    =\cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}[2x]=

    Poiché la derivata di 2x è 2:

    =\cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)

    ***

    È tutto, ma per concludere ti suggeriamo di:

    - avere sempre a portata di mano la tabella con le derivate fondamentali;

    - leggere la lezione sulle regole di derivazione;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare la correttezza degli esercizi di cui non conosci i risultati.

    Se invece ti serve una pagina di riepilogo su tutte proprietà della funzione seno - click!

    Risposta di Galois
 
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