Derivata del seno: formula, dimostrazione e generalizzazione

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Qual è la derivata del seno, ossia quanto vale la derivata di sen(x)? Oltre a questo potreste dirmi come si ricava la formula di derivazione del seno?

Il mio libro suggerisce di usare la definizione di derivata, ma non ho capito come si procede.

Da ultimo sapreste dirmi come si calcola la derivata del seno di f(x), ossia la derivata del seno di una funzione, e mostrarmi un esempio?

La derivata del seno è uguale al coseno di x, ossia la derivata di f(x)=sin(x) è f'(x)=cos(x); la derivata del seno è una derivata notevole e, in quanto tale, si calcola una volta per tutte con la definizione di derivata.

(d)/(dx)[sin(x)] = cos(x)

Dimostrazione della formula di derivazione del seno

Per dimostrare che la derivata di sin(x) è uguale a cos(x) o, in altri termini, per calcolare la derivata di sen(x) si usa la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

f'(x) = lim_(h → 0) (f(x+h)−f(x))/(h)

Procediamo! Sostituiamo f(x) = sin(x) e la sua valutazione in x+h

(d)/(dx)[sin(x)] = lim_(h → 0) (sin(x+h)−sin(x))/(h) =

Per la formula di addizione del seno:

= lim_(h → 0) (sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x))/(h) =

Raccogliamo a fattor comune sin(x) tra il primo e il terzo termine

= lim_(h → 0) (sin(x)(cos(h)−1)+cos(x)sin(h))/(h) =

e scriviamo l'argomento del limite come somma tra frazioni

= lim_(h → 0) ((sin(x)(cos(h)−1))/(h)+(cos(x)sin(h))/(h)) =

Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, in accordo con l'Algebra dei limiti:

= lim_(h → 0) (sin(x)(cos(h)−1))/(h)+lim_(h → 0)(cos(x)sin(h))/(h) = (☆)

A questo punto, calcoliamo i due limiti separatamente. Partiamo dal primo:

• lim_(h → 0) (sin(x)(cos(h)−1))/(h) =

Poiché il fattore sin(x) non dipende da h, possiamo portarlo fuori dal limite

= sin(x)·lim_(h → 0) (cos(h)−1)/(h) =

Quest'ultimo limite si presenta nella forma indeterminata [(0)/(0)] e per risolverlo moltiplichiamo numeratore e denominatore per h

= sin(x)·lim_(h → 0) ((cos(h)−1)·h)/(h·h) = sin(x)·lim_(h → 0) ((cos(h)−1)/(h^2)·h) =

Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

= sin(x)·(lim_(h → 0) (cos(h)−1)/(h^2)·lim_(h → 0) h) =

Il primo è, a meno del segno, il limite notevole del coseno e vale -1/2, mentre l'altro è uguale a zero

= sin(x)·(−(1)/(2)·0) = 0

Abbiamo così ottenuto che

lim_(h → 0) (sin(x)(cos(h)−1))/(h) = 0

Passiamo ora al secondo limite:

• lim_(h → 0)(cos(x)sin(h))/(h) =

Portiamo cos(x) fuori dal limite perché non dipende da h

= cos(x)·lim_(h → 0)(sin(h))/(h) =

ed ecco che rimane il limite notevole del seno, che vale 1

= cos(x)·1 = cos(x)

Torniamo al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti

(☆) = 0+cos(x) = cos(x)

Ci siamo! Abbiamo dimostrato che la derivata di sin(x) è uguale a cos(x)

(d)/(dx)[sin(x)] = cos(x)

Derivata del seno di una funzione

In accordo con il teorema di derivazione della funzione composta, la derivata del seno di una funzione f(x) è uguale al coseno di f(x) per la derivata di f(x)

(d)/(dx)[sin(f(x))] = cos(f(x))·f'(x)

Facciamo un esempio e calcoliamo la derivata del seno di 2x.

(d)/(dx) [sin(2x)] =

Usiamo la precedente formula e sostituiamo f(x) con 2x

= cos(2x)·(d)/(dx)[2x] =

Poiché la derivata di 2x è 2:

= cos(2x)·2 = 2cos(2x)

***

È tutto, ma per concludere ti suggeriamo di:

- avere sempre a portata di mano la tabella con le derivate fondamentali;

- leggere la lezione sulle regole di derivazione;

- usare il tool sul calcolo delle derivate online per verificare la correttezza degli esercizi di cui non conosci i risultati.

Se invece ti serve una pagina di riepilogo su tutte proprietà della funzione seno - click!

Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica
Esercizi simili e domande correlate