Formule per il volume della sfera ed esempi svolti

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Come si calcola il volume della sfera? Potreste scrivere la formula con cui si determina il volume di una sfera dalla misura del raggio e mostrarmi qualche esempio di applicazione?

Vorrei anche sapere come si può calcolare il volume di una sfera partendo dalla sua area, oppure conoscendo il perimetro o l'area del cerchio generatore.

Oltre a chiarire tutti questi dubbi potreste proporre qualche problema svolto sul calcolo del volume di una sfera?

Il volume della sfera si calcola come V=(4πr3)/3, ossia moltiplicando per 4 il prodotto tra Pi Greco e il cubo del raggio e dividendo il tutto per 3; il volume della sfera esprime la misura dello spazio occupato dalla sfera.

Volume sfera

Volume sfera = (4πr3)/3.

Formula volume sfera

Se indichiamo con V il volume, con r la misura del raggio e con π la costante Pi Greco, la formula con cui si calcola il volume della sfera è la seguente:

V = (4)/(3)π r^3

In altri termini per determinare il volume è sufficiente conoscere la lunghezza del raggio, per poi elevarla al cubo e moltiplicare per (4)/(3)π.

Per le formule inverse del volume e per tutte le altre formule della sfera vi invitiamo a leggere la lezione del link.

Esercizi svolti volume sfera

Vediamo come si risolvono i problemi sul volume della sfera al variare dei dati che si hanno a disposizione. Ogni esercizio è interamente svolto, con tutti i calcoli e le spiegazioni necessarie per giungere alla soluzione.

Prima però facciamo una piccola precisazione: la costante Pi Greco che compare nella formula del volume è un numero irrazionale, cioè un numero decimale non periodico con infinite cifre decimali. Una volta giunti alla fine dell'esercizio si può quindi scegliere di lasciare il Pi Greco indicato con il suo simbolo (π) oppure di sostituirlo con il valore approssimato π ≃ 3,14.

Calcolo volume sfera con il raggio

Se si conosce la misura del raggio della sfera si può calcolare immediatamente il volume usando la relativa formula diretta

V = (4)/(3)π r^3

Esempio

Il raggio di una sfera è di 6 cm; calcolarne il volume.

V = (4)/(3)π r^3 = (4)/(3)π×(6 cm)^3 = (4)/(3)π×(216 cm^3) = 288π cm^3 ≃ 904,32 cm^3

Calcolo volume sfera con l'area

L'area della sfera è la misura dell'area della superficie totale, che si calcola moltiplicando il quadrato del raggio per 4π:

S = 4π r^2

Invertendo la precedente relazione possiamo ricavare la misura del raggio

r = √((S)/(4 π))

e quindi calcolare il volume con la formula che ormai conosciamo

V = (4)/(3)π r^3

Esempio

Calcolare il volume di una sfera sapendo che l'area della superficie totale è di 576π metri quadrati.

Svolgimento: troviamo la misura del raggio invertendo la formula dell'area della superficie totale

S = 4π r^2 ; r = √((S)/(4 π)) = √((576π m^2)/(4π)) = √(144 m^2) = 12 m

dopodiché possiamo determinare il volume

V = (4)/(3)π r^3 = (4)/(3)π×(12 m)^3 = (4)/(3)π×(1728 m^3) = 2304π m^3 ≃ 7234,56 m^3

Calcolo volume sfera con area del semicerchio generatore

Si dice semicerchio generatore il semicerchio dalla cui rotazione attorno al proprio diametro si ottiene la sfera; ovviamente il raggio del semicerchio generatore coincide con il raggio della sfera.

Se è nota l'area A del semicerchio generatore, dalla formula dell'area del semicerchio

A = (π r^2)/(2)

si può ottenere la misura del raggio della sfera

r = √(2×(A)/(π))

per poi calcolare il volume

V = (4)/(3)π r^3

Esempio

Una sfera è ottenuta dalla rotazione di un semicerchio, attorno al proprio diametro, avente un area di 353,25 cm2. Calcolare il volume della sfera.

Svolgimento: invertendo la formula dell'area del semicerchio in favore del raggio possiamo trovare la misura del raggio della sfera

A = (π r^2)/(2) ; r = √((2×A)/(π)) ≃ √((2×(353,25 cm^2))/(3,14)) ≃ ; ≃ √((706,5 cm^2)/(3,14)) ≃ √(225 cm^2) = 15 cm

Conoscendo il raggio sappiamo come calcolare il volume

V = (4)/(3)π r^3 = (4)/(3)π×(15 cm)^3 = (4)/(3)π×(3375 cm^3) = 4500π cm^3 ≃ 14130 cm^3

Calcolo volume sfera con perimetro del semicerchio generatore

La misura del raggio del semicerchio generatore coincide con la misura del raggio della sfera, quindi dalla formula del perimetro del semicerchio

2p = π r+2r = r(π+2)

possiamo calcolare la misura del raggio della sfera

r = (2p)/(π+2)

e, successivamente, determinarne il volume

V = (4)/(3)π r^3

Esempio

Il perimetro del semicerchio generatore di una sfera è di 15,42 decimetri. Determinare il volume della sfera.

Svolgimento: dividendo il perimetro del semicerchio per π+2 si ricava la misura del raggio

r = (2p)/(π+2) ≃ (15,42 dm)/(3,14+2) ≃ (15,42 dm)/(5,14) ≃ 3 dm

Fatto ciò è immediato calcolare il volume

V = (4)/(3)π r^3 = (4)/(3)π×(3 dm)^3 = (4)/(3)π×(27 dm^3) = 36π dm^3 ≃ 113,04 dm^3

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Se vi occorrono altri esercizi svolti potete trovarli usando la barra di ricerca interna. ;)

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