Soluzioni
  • Il volume della sfera esprime la misura dello spazio occupato dalla sfera e si calcola moltiplicando per 4 il prodotto tra Pi Greco e il cubo del raggio, e dividendo il tutto per 3.

     

    Volume sfera

    Volume sfera = (4πr3)/3

     

    Formula volume sfera

    Se indichiamo con V il volume, con r la misura del raggio e con \pi la costante Pi Greco, la formula con cui si calcola il volume della sfera è la seguente:

    V=\frac{4}{3}\pi r^3

    In definitiva, per determinare il volume è sufficiente conoscere la lunghezza del raggio, per poi elevarla al cubo e moltiplicare per \frac{4}{3}\pi

    Per le formule inverse del volume e per tutte le altre formule della sfera, vi invitiamo a leggere la lezione del link.

    Esercizi svolti volume sfera

    Vediamo come si risolvono i problemi sul volume della sfera al variare dei dati che si hanno a disposizione. Ogni esercizio è interamente svolto e spiegato in ogni suo punto, con tutti i calcoli e le spiegazioni necessarie per giungere alla soluzione.

    Prima però facciamo una piccola precisazione: la costante Pi Greco che compare nella formula del volume è un numero irrazionale, cioè un numero decimale non periodico con infinite cifre decimali. Una volta giunti alla fine dell'esercizio si può quindi scegliere di lasciare il Pi Greco indicato con il suo simbolo (\pi) oppure sostituirlo con il valore approssimato \pi \simeq 3,14.

    Calcolo volume sfera con il raggio

    Se si conosce la misura del [[raggio della sfera]] si può calcolare immediatamente il volume usando la relativa formula diretta

    V=\frac{4}{3}\pi r^3

    Esempio

    Il raggio di una sfera è di 6 cm; calcolarne il volume.

    V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times (6 \mbox{ cm})^3 = \frac{4}{3}\pi \times \left(216 \mbox{ cm}^3 \right ) = 288\pi \mbox{ cm}^3 \simeq 904,32 \mbox{ cm}^3

    Calcolo volume sfera con l'area

    L'[[area della sfera]] è la misura dell'area della superficie totale, che si calcola moltiplicando il quadrato del raggio per 4π:

    S_{tot} = 4\pi r^2

    Invertendo la precedente relazione possiamo ricavare la misura del raggio

    r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4 \pi}}

    e quindi calcolare il volume con la formula che ormai conosciamo

    V=\frac{4}{3}\pi r^3

    Esempio

    Calcolare il volume di una sfera sapendo che l'area della superficie totale è di 576π metri quadrati.

    Troviamo la misura del raggio invertendo la formula dell'area della superficie totale

    \\ S_{tot} = 4\pi r^2 \\ \\ r=\sqrt{\frac{S_{tot}}{4 \pi}} = \sqrt{\frac{576\pi \mbox{ m}^2}{4\pi}} = \sqrt{144 \mbox{ m}^2} = 12 \mbox{ m}

    Dopodiché possiamo determinare il volume

    V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times (12 \mbox{ m})^3 = \frac{4}{3}\pi \times \left(1728 \mbox{ m}^3 \right ) = 2304\pi \mbox{ m}^3 \simeq 7234,56 \mbox{ m}^3

    Calcolo volume sfera con area del semicerchio generatore

    Si dice semicerchio generatore il semicerchio dalla cui rotazione attorno al proprio diametro si ottiene la sfera; ovviamente il raggio del semicerchio generatore coincide con il raggio della sfera.

    Di conseguenza, se è nota l'area A del semicerchio generatore, dalla formula dell'area del semicerchio

    A=\frac{\pi r^2}{2}

    si può ottenere la misura del raggio della sfera

    r=\sqrt{2 \times \frac{A}{\pi}}

    per poi calcolare il volume

    V=\frac{4}{3}\pi r^3

    Esempio

    Una sfera è ottenuta dalla rotazione attorno al proprio diametro di un semicerchio avente un area di 353,25 cm2. Calcolare il volume della sfera.

    Invertendo la formula dell'area del semicerchio in favore del raggio possiamo trovare la misura del raggio della sfera

    \A=\frac{\pi r^2}{2} \\ \\ \\ \ r=\sqrt{\frac{2 \times A}{\pi}} \simeq \sqrt{\frac{2 \times (353,25 \mbox{ cm}^2)}{3,14}} \simeq \\ \\ \\ \simeq \sqrt{\frac{706,5 \mbox{ cm}^2}{3,14}} \simeq \sqrt{225 \mbox{ cm}^2} = 15 \mbox{ cm}

    Conoscendo il raggio sappiamo come calcolare il volume

    V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times (15 \mbox{ cm})^3 = \frac{4}{3}\pi \times \left(3375 \mbox{ cm}^3 \right ) = 4500\pi \mbox{ cm}^3 \simeq 14130 \mbox{ cm}^3

    Calcolo volume sfera con perimetro del semicerchio generatore

    La misura del raggio del semicerchio generatore coincide con la misura del raggio della sfera, quindi dalla formula del perimetro del semicerchio

    2p=\pi r + 2r = r(\pi + 2)

    possiamo calcolare la misura del raggio della sfera

    r=\frac{2p}{\pi + 2}

    e, successivamente, determinarne il volume

    V=\frac{4}{3}\pi r^3

    Esempio

    Il perimetro del semicerchio generatore di una sfera è di 15,42 decimetri. Determinare il volume della sfera.

    Dividendo il perimetro del semicerchio per π+2 si ricava la misura del raggio

    r=\frac{2p}{\pi+2} \simeq \frac{15,42 \mbox{ dm}}{3,14+2} \simeq \frac{15,42 \mbox{ dm}}{5,14} \simeq 3 \mbox{ dm}

    Fatto ciò è immediato calcolare il volume

    V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times (3 \mbox{ dm})^3 = \frac{4}{3}\pi \times \left(27 \mbox{ dm}^3 \right ) = 36\pi \mbox{ dm}^3 \simeq 113,04 \mbox{ dm}^3

    ***

    Se vi occorrono altri esercizi svolti potete trovarli usando la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Geometria