Soluzioni
  • La derivata del coseno, o meglio la derivata di cos(x), è uguale all'opposto del seno di x ed è una derivata fondamentale, ossia una di quelle derivate che si calcola una volta per tutte con la definizione di derivata, e che da quel momento in poi si consiglia di imparare a memoria.

    \frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)

    Dimostrazione della formula di derivazione del coseno

    Per dimostrare che la derivata di cos(x) è uguale a -sin(x), o equivalentemente per calcolare la derivata del coseno di x, si usa la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale:

    \frac{d}{dx}[f(x)]=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituiamo f(x)=\cos(x), la sua valutazione in x+h e calcoliamo il limite che ne scaturisce. Procediamo!

    \frac{d}{dx}[\cos(x)]=\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=

    Applichiamo la formula di addizione del coseno

    = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}=

    Tra il primo e l'ultimo termine raccogliamo a fattor comune \cos(x)

    = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)}{h}=

    e scriviamo l'argomento del limite come differenza tra frazioni

    = \lim_{h \to 0} \left(\frac{\cos(x)(\cos(h)-1)}{h}-\frac{\sin(x)\sin(h)}{h}\right)=

    Per le regole sull'Algebra dei limiti, il limite di una differenza è uguale alla differenza dei limiti

    = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)(\cos(h)-1)}{h}-\lim_{h \to 0}\frac{\sin(x)\sin(h)}{h}=\ (\bigstar)

    Per rendere la spiegazione quanto più chiara possibile calcoliamo i due limiti separatamente, partendo dal primo:

    (\bullet) \ \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)(\cos(h)-1)}{h}=

    Il fattore \cos(x) non dipende da h, dunque possiamo portarlo fuori dal limite

    = \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}=

    Il limite che rimane si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] e per risolverlo moltiplichiamo e dividiamo per h

    \\ = \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left(\frac{(\cos(h)-1)}{h} \cdot \frac{h}{h} \right) = \\ \\ \\ =\cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left(\frac{\cos(h)-1}{h^2} \cdot h\right)=

    Il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti

    =\cos(x) \cdot \left(\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h^2} \cdot \lim_{h \to 0} h\right)=

    Il primo vale -1/2 (basta infatti osservare che si tratta - a meno del segno - del limite notevole del coseno) mentre l'altro è uguale a zero

    =\cos(x) \cdot \left(-\frac{1}{2} \cdot 0\right)= 0

    In definitiva

    \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)(\cos(h)-1)}{h}=0

    Passiamo ora al secondo limite:

    (\bullet) \ \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x)\sin(h)}{h}=

    Portiamo \sin(x) fuori dal limite, perché non dipende da h

    =\sin(x) \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\sin(h)}{h}=

    e ci ritroviamo con il limite notevole del seno, che vale 1

    =\sin(x) \cdot 1 = \sin(x)

    Ci siamo quasi! Torniamo al limite iniziale nel punto in cui ci siamo fermati e sostituiamo i risultati ottenuti

    (\bigstar) \ = 0 - \sin(x) = -\sin(x)

    Ecco fatto: abbiamo dimostrato che la derivata di cos(x) è uguale a -sin(x)

    \frac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)

    Derivata del coseno di una funzione

    La derivata del coseno di una funzione f(x) è uguale all'opposto del seno di f(x) per la derivata di f(x), in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta.

    \frac{d}{dx}[\cos(f(x))] = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)

    Per fissare le idee calcoliamo la derivata del coseno di 2x:

    \frac{d}{dx} [\cos(2x)]=

    Nella precedente formula sostituiamo f(x) con 2x

    =-\sin(2x) \cdot \frac{d}{dx}[2x]=

    e poiché la derivata di 2x è uguale a 2

    =-\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, a parte consigliarti di:

    - leggere la lezione sulle regole di derivazione;

    - avere sempre ben presenti le derivate fondamentali;

    - usare il tool sul calcolo delle derivate online tutte le volte che hai un dubbio sulla correttezza di un risultato.

    Se invece ti serve una pagina di riepilogo su tutte proprietà della funzione coseno - click!

    Risposta di Galois
 
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