Soluzioni
  • 0 fratto un numero è uguale a 0 se il numero a denominatore è diverso da zero ed è un'operazione priva di significato se anche il denominatore è zero. Più esplicitamente è 0/a=0 se a≠0, mentre 0/0 è un'operazione priva di significato.

    \frac{0}{a}= \begin{cases} 0 & \mbox{se } a \neq 0 \\ \\ \mbox{non ha significato} & \mbox{se } a=0 \end{cases}

    Per evitare fraintendimenti ricordiamo che una frazione denota la divisione tra due numeri, detti numeratore e denominatore:

    - il numeratore è il numero sopra la linea di frazione, e corrisponde al dividendo;

    - il denominatore è il numero sotto la linea di frazione, e corrisponde al divisore.

    0 fratto un numero è una frazione con numeratore pari a zero, dunque equivale a una divisione con dividendo nullo

    \frac{0}{a} = 0:a

    Facciamo ora riferimento al significato di divisione, secondo cui il risultato della divisione tra due numeri B,A è quel numero C che, moltiplicato per A, dà come risultato B

    B:A= C \iff C \times A = B

    Per calcolare il valore di 0 fratto un numero a dobbiamo allora chiederci: qual è quel numero che moltiplicato per a dà come risultato 0?

    • Se a \neq 0, l'unico numero che moltiplicato per a dà come risultato 0 è 0

    \frac{0}{a}=0 \ \ \mbox{ con } a \neq 0

    • Se a = 0, qualsiasi numero moltiplicato per a dà come risultato 0, per cui \frac{0}{0} è un'operazione priva di significato.

    \frac{0}{0} \ \to \ \mbox{operazione priva di significato}

    Questo perché la divisione, come ogni altra operazione matematica, è una legge che a una coppia di numeri associa un unico numero, detto risultato.

    Poiché dal rapporto tra 0 e 0 si ottengono infiniti possibili risultati, e non uno solo, 0 fratto 0 non soddisfa la definizione stessa di operazione e quindi si dice che è un'espressione senza significato.

    0 fratto un numero nei limiti

    Nel calcolo dei limiti, soprattutto in quelli che si svolgono per sostituzione diretta, capita spesso di ottenere come risultato 0 fratto un numero.

    Qui il discorso è leggermente più delicato, infatti:

    • se il risultato della sostituzione è \frac{0}{a}, con a \neq 0, allora il limite vale 0.

    • se il risultato della sostituzione è \frac{0}{0}, allora va considerato come forma indeterminata e non come operazione priva di significato. Il modo corretto di indicarla è \left[\frac{0}{0}\right], ossia scrivendo la frazione \frac{0}{0} tra una coppia di parentesi quadre.

    Alla risoluzione delle forme indeterminate abbiamo dedicato un'intera lezione, a cui ti rimandiamo per tutti gli approfondimenti del caso: metodi di risoluzione delle forme indeterminate.

    Qui ci limitiamo a proporre un paio di esempi.

    Esempi di 0 fratto un numero nel calcolo dei limiti

    1) \lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} =

    Calcoliamo il limite per sostituzione diretta e sostituiamo x=\pi

    =\frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)}=

    Il seno di Pi Greco è uguale a zero, mentre il coseno di Pi Greco è -1

    =\frac{0}{-1}=0

    2) \lim_{x \to 1} \frac{3(x-1)}{x^2-1}=

    procediamo per sostituzione diretta

    =\frac{3 \cdot (1-1)}{1^2-1}=

    e otteniamo la forma indeterminata 0 fratto 0

    =\left[\frac{0}{0}\right]

    Per risolverla scomponiamo la differenza di quadrati a denominatore

    \lim_{x \to 1} \frac{3(x-1)}{x^2-1}=\lim_{x \to 1} \frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)}=

    Semplifichiamo il fattore (x-1), presente sia a numeratore che a denominatore

    =\lim_{x \to 1} \frac{3}{x+1}=

    e procediamo nuovamente per sostituzione

    =\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}

    ***

    Ci congediamo con qualche spunto di approfondimento che ti tornerà sicuramente utile:

    - numero fratto 0;

    - dividere per zero;

    - potenza alla zero.

    Risposta di Galois
 
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