Soluzioni
  • Per trovare una base dell'immagine dell'applicazione lineare, prima di tutto va scritta in forma matriciale:

    A=\left[\begin{matrix}1\mbox{ }0\mbox{ }0\mbox{ }1\\ -1\mbox{ }0\mbox{ }0\mbox{ }-1\\ 0\mbox{ }5\mbox{ }3\mbox{ }0\end{matrix}\right]

    Fatto ciò, l'esercizio è in tutto e per tutto simile a questo.

    Dacci un'occhiata, e fammi sapere se riesci. In caso contrario, procediamo con lo svolgimento.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Allora io la base dell' immagine so che si trova così: considero una base canonica (1,0,0,0) (0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1). Nel primo caso attribuisco a x il valore 1,nel secondo caso ad y il valore 1 e così via.

    Sostituendo mi trovo {(1,-1,0),(0,0,5),(0,0,3),(1,-1,0)} ora in base alla dimensione dell immagine  prenderò un certo numero di queste basi.

    Per quanto riguarda il Ker ho provato a porre in un sistema x+t=0 -x-t=0 5y+3z=0  ma viene x=-t   t=t 5y+3z=0 come trovo la base?

     

    Risposta di Giulialg88
  • Per la prima parte, brava!

    Per risolvere il tuo dubbio, da

    x+t=0

    -x-t=0

    5y+3z=0

    passi a

    x=-t

    x=-t

    y=\frac{5}{3}z

    Devi trattare le variabili associate alle equazioni indeterminate come parametri, ad esempio

    t=\alpha

    x=-\alpha

    z=\beta

    y=\frac{5}{3}\beta

    e quindi puoi scrivere un qualsiasi elemento del nucleo come

    \alpha[-1,0,0,1]T+\beta[0,5/3,1,0]

    Questi due vettori sono un sistema di generatori della base. Sono linearmente indipendenti? Sì, dunque sono una base del nucleo.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Ma quindi la dimensione del ker qual è? come si fa a calcolarla? e la dimensione dell' immagine? (mi ero dimenticata di chiedere)

    Risposta di Giulialg88
  • Per la base, la dimensione è 2, infatti i due vettori che ti ho indicato sono un sistema di generatori e sono linearmente indipendenti.

    Per l'immagine: teorema della nullità più rango.

    Risposta di Omega
  • cioè n=dim kerf+dim Imf? 

    3=2+1? la dim dell immagine è 1?

    Risposta di Giulialg88
  • No, è 2, perchè devi prendere la dimensione dello spazio vettoriale di partenza, cioè 4...

    Risposta di Omega
  • e ma allora non ci troviamo con il teorema della dimensione che dice: se f:v->w è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale V di dimensione n ad uno spazio vettoriale W allora: n=dim kerf+dim Imf

    come hai detto tu verrebbe: 3=2+2

     

    Risposta di Giulialg88
  • 4=2+2

    Risposta di Omega
  • ah ok grazie =)

    Risposta di Giulialg88
 
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