Calcolo della derivata del logaritmo: formula e dimostrazione

Giuseppe Carichino (Galois) -

Qual è la derivata del logaritmo? Potreste spiegarmi come si calcola la derivata di log(x) e, più in generale, come si dimostra la formula della derivata del logaritmo in base a?

Cosa cambia tra la derivata del logaritmo di x e la derivata di logaritmo in base a di x?

Sapreste anche dirmi qual è e come si calcola la derivata del logaritmo di f(x), cioè la derivata del logaritmo di una funzione?

La derivata del logaritmo in base a di x è uguale al reciproco del prodotto tra x e il logaritmo naturale di a, ossia la derivata di f(x)=log_a(x) è f'(x)=1/(x·ln(a)), e si calcola usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

(d)/(dx)[log_a(x)] = (1)/(x ln (a)) ∀ x > 0, a > 0, a ≠ 1

Le condizioni sulla base e sull'argomento vanno imposte per assicurare l'esistenza del logaritmo.

La derivata di log(x) è invece uguale al reciproco di x, ossia la derivata del logaritmo naturale f(x)=log(x) è f'(x)=1/x, e si ottiene dalla formula generale della derivata del logaritmo per sostituzione.

(d)/(dx)[log(x)] = (1)/(x) ∀ x > 0

Calcolo della derivata del logaritmo

Per calcolare la derivata del logaritmo in base a di x usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale

f'(x) = lim_(h → 0) (f(x+h)-f(x))/(h)

in cui sostituiamo

f(x) = log_a(x) con x > 0, a > 0, a ≠ 1

e la sua valutazione in x+h

f(x+h) = log_a(x+h)

In sintesi possiamo calcolare la derivata di log_a(x) come

(d)/(dx)[log_a(x)] = lim_(h → 0) (log_a(x+h)-log_a(x))/(h) =

Per prima cosa usiamo una nota proprietà dei logaritmi: la differenza di due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti

= lim_(h → 0) (log_a((x+h)/(x)))/(h) =

dividiamo termine a termine nell'argomento

= lim_(h → 0) (log_a((x)/(x)+(h)/(x)))/(h) = lim_(h → 0) (log_a(1+(h)/(x)))/(h) = (•)

Cerchiamo ora di ricondurci al limite notevole del logaritmo

lim_(z → 0) (log_a(1+z))/(z) = (1)/(ln(a))

Poniamo (h)/(x) = z, da cui otteniamo h = zx, e osserviamo che per h che tende a zero anche z tende a zero, pertanto

(•) = lim_(z → 0) (log_a(1+z))/(zx) =

Possiamo portare la x a denominatore fuori dal limite perché non dipende da z

= (1)/(x)·lim_(z → 0)(log_a(1+z))/(z) = (1)/(x)·(1)/(ln(a)) = (1)/(xln(a))

Abbiamo così dimostrato che la derivata del logaritmo in base a di x è data da

(d)/(dx)[log_a(x)] = (1)/(x ln (a)) ∀ x > 0, a > 0, a ≠ 1

Derivata di log(x)

La scrittura log(x) indica il logaritmo naturale di x, ossia il logaritmo che ha per base il numero di Nepero e, e si indica anche con ln(x).

Ciò premesso, la derivata di log(x) si ottiene dalla precedente formula sostituendo la base del logaritmo con e

(d)/(dx)[log(x)] = (1)/(x ln(e)) =

Per definizione di logaritmo, il logaritmo naturale di e è uguale a 1

= (1)/(x·1) = (1)/(x)

e in definitiva la derivata di log(x) è data da

(d)/(dx)[log(x)] = (1)/(x) ∀ x > 0

Un altro modo per ricavare la derivata del logaritmo di x è quello di usare la definizione di derivata. Se vuoi vedere come si fa, puoi leggere l'approfondimento sulla derivata di ln(x).

Derivata del logaritmo di una funzione

Per calcolare la derivata del logaritmo di una funzione basta applicare il teorema per le derivate di funzioni composte, da cui si ottiene che la derivata del logaritmo di f(x) è uguale al rapporto tra la derivata prima di f(x) e f(x)

(d)/(dx) log(f(x)) = (f'(x))/(f(x))

Per fissare le idee facciamo un esempio e calcoliamo la derivata del logaritmo di x^2.

(d)/(dx)[log(x^2)] =

In questo caso f(x) = x^2, la cui derivata è f'(x) = 2x, dunque

(d)/(dx) log(x^2) = ([x^2]')/(x^2) = (2x)/(x^2) = (2)/(x)

***

È tutto, ma eccoti qualche spunto di approfondimento:

- tabella delle derivate fondamentali;

- regole di derivazione;

- calcolo delle derivate online, un tool per verificare i risultati degli esercizi.

Ti segnaliamo anche due pagine di riepilogo sulla funzione logaritmica:

- funzione logaritmica con base maggiore di 1;

- funzione logaritmica con base tra 0 e 1.

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