Soluzioni
  • La derivata del logaritmo, o meglio la derivata del logaritmo in base a di x, è uguale al reciproco del prodotto tra x e il logaritmo naturale di a, e si calcola usando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

    \frac{d}{dx}[\log_a(x)]=\frac{1}{x \ln (a)} \ \ \forall x > 0, \ a>0, \ a \neq 1

    Le condizioni sulla base e sull'argomento vanno imposte per assicurare l'esistenza del logaritmo.

    La derivata di log(x) è invece uguale a 1/x, e come vedremo tra poco si ottiene dalla precedente formula per sostituzione.

    \frac{d}{dx}[\log(x)]=\frac{1}{x} \ \ \forall x > 0

    Calcolo della derivata del logaritmo

    Per calcolare la derivata del logaritmo in base a di x usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale

    \frac{d}{dx} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    in cui sostituiamo

    f(x)=\log_a(x) \ \ \mbox{ con } x>0, \ a>0, \ a \neq 1

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h) = \log_a(x+h)

    In sintesi possiamo calcolare la derivata di \log_a(x) come

    \frac{d}{dx}[\log_a(x)]=\lim_{h\to 0} \frac{\log_a(x+h)-\log_a(x)}{h}=

    Per prima cosa usiamo una nota proprietà dei logaritmi: la differenza di due logaritmi con la stessa base è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti

    = \lim_{h\to 0} \frac{\log_a\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h}=

    dividiamo termine a termine nell'argomento

    =\lim_{h\to 0} \frac{\log_a\left(\dfrac{x}{x}+\dfrac{h}{x}\right)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{\log_a\left(1+\dfrac{h}{x}\right)}{h}= \ (\bullet)

    Cerchiamo ora di ricondurci al limite notevole del logaritmo

    \lim_{z\to 0} \frac{\log_a(1+z)}{z}=\frac{1}{\ln(a)}

    Poniamo \frac{h}{x}=z, da cui otteniamo h=zx, e osserviamo che per h che tende a zero anche z tende a zero, pertanto

    (\bullet) = \lim_{z \to 0} \frac{\log_a(1+z)}{zx}=

    Possiamo portare la x a denominatore fuori dal limite perché non dipende da z

    =\frac{1}{x} \cdot \lim_{z\to 0}\frac{\log_a(1+z)}{z} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln(a)} = \frac{1}{x\ln(a)}

    Abbiamo così dimostrato che la derivata del logaritmo in base a di x è data da

    \frac{d}{dx}[\log_a(x)]=\frac{1}{x \ln (a)} \ \ \forall x > 0, \ a>0, \ a \neq 1

    Derivata di log(x)

    La scrittura \log(x) indica il logaritmo naturale di x, ossia il logaritmo che ha per base il numero di Nepero e, e si indica anche con \ln(x).

    Ciò premesso, la derivata di \log(x) si ottiene dalla precedente formula sostituendo la base del logaritmo con e

    \frac{d}{dx}[\log(x)]=\frac{1}{x \ln(e)}=

    Per definizione di logaritmo, il logaritmo naturale di e è uguale a 1

    =\frac{1}{x \cdot 1} = \frac{1}{x}

    e in definitiva la derivata di \log(x) è data da

    \frac{d}{dx}[\log(x)]=\frac{1}{x} \ \ \forall x > 0

    Un altro modo per ricavare la derivata del logaritmo di x è quello di usare la definizione di derivata. Se vuoi vedere come si fa, puoi leggere l'approfondimento sulla derivata di ln(x).

    Derivata del logaritmo di una funzione

    Per calcolare la derivata del logaritmo di una funzione basta applicare il teorema per le derivate di funzioni composte, da cui si ottiene che la derivata del logaritmo di f(x) è uguale al rapporto tra la derivata prima di f(x) e f(x)

    \frac{d}{dx} \log(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}

    Per fissare le idee facciamo un esempio e calcoliamo la derivata del logaritmo di x^2.

    \frac{d}{dx}[\log(x^2)]=

    In questo caso f(x)=x^2, la cui derivata è f'(x)=2x, dunque

    \frac{d}{dx} \log(x^2) = \frac{\left[x^2\right]'}{x^2} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}

    ***

    È tutto, ma eccoti qualche spunto di approfondimento:

    - tabella delle derivate fondamentali;

    - regole di derivazione;

    - calcolo delle derivate online, un tool per verificare i risultati degli esercizi.

    Ti segnaliamo anche due pagine di riepilogo sulla funzione logaritmica:

    - funzione logaritmica con base maggiore di 1;

    - funzione logaritmica con base tra 0 e 1.

    Risposta di Galois
 
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