Soluzioni
  • Innanzitutto partiamo dalla formula della derivata della tangente

    \frac{d}{dx}\ \tan{(x)}=\frac{1}{\cos^2{(x)}}

    Come calcolare la derivata della tangente

    Il modo più veloce per calcolare la derivata di tan(x) (o se preferisci tg(x), funzione tangente) consiste nel ricorrere alla definizione trigonometrica della tangente di un angolo come rapporto di seno e coseno

    \tan{(x)}=\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}

    In questo modo non dobbiamo fare altro che applicare la regola per la derivata di una frazione

    \frac{d}{dx}\ \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

    Scriviamoci le derivate di f(x)=\sin{(x)} e di g(x)=\cos{(x)} a parte, per agevolare lo svolgimento:

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}\ \sin{(x)}=\cos{(x)}\\ \\ g'(x)=\frac{d}{dx}\ \cos{(x)}=-\sin{(x)}

    Sostituiamo il tutto nella formula precedente

    \\ \frac{d}{dx}\ \tan{(x)}=\frac{d}{dx}\ \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}=\\ \\ \\ =\frac{\cos{(x)}\cos{(x)}-\sin{(x)}[-\sin{(x)}]}{\cos^2{(x)}}=\\ \\ \\ =\frac{\cos^2{(x)}+\sin^2{(x)}}{\cos^2{(x)}}

    Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria

    \sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1

    Possiamo esprimere la derivata della tangente nella forma

    \frac{d}{dx}\ \tan{(x)}=\frac{1}{\cos^2{(x)}}

    Un consiglio? Salva tra i preferiti la tabella delle derivate notevoli... ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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