Integrale logaritmo

L'integrale del logaritmo, o meglio l'integrale di log(x) o integrale di ln(x), non è un integrale notevole e per calcolarlo si ricorre a un trucco algebrico che permette di applicare la tecnica di integrazione per parti.

Tra poco vedremo come si calcola e commenteremo tutti i passaggi, ma intanto ecco il risultato:

Attenzione alle notazioni! Come si è soliti fare in ambito universitario, la scrittura log(x) rappresenta il logaritmo naturale di x, ossia il logaritmo che ha per base il numero di Nepero . Un altro modo per indicarlo è ln(x), dunque può capitare di leggere l'integrale di logaritmo di x espresso nella seguente forma:

Calcolo dell'integrale del logaritmo

riscriviamo l'integranda come prodotto tra la funzione logaritmica e la costante 1

e usiamo il metodo di integrazione per parti, secondo cui

dove è il fattore finito (scelto in modo che sia facile da derivare) mentre è il fattore differenziale (facile da integrare).

Per calcolare l'integrale del logaritmo scegliamo:

- la funzione logaritmica come fattore finito;

- la funzione costante come fattore differenziale

Calcoliamo e , ossia rispettivamente la derivata della funzione e una primitiva della funzione .

La derivata del logaritmo è 1/x, mentre l'integrale di 1 è x, per cui:

Procediamo:

Applichiamo la regola di integrazione per parti

Semplifichiamo la nuova integranda

e abbiamo finito. Ricordiamo che è una costante arbitraria che serve a individuare tutte le possibili primitive della funzione integranda.

Integrale del logaritmo con base generica

L'integrale di un logartimo con base qualsiasi

si calcola esattamente allo stesso modo, ma per non lasciare spazio a dubbi vediamo i passaggi in dettaglio.

usiamo il metodo di integrazione per parti:

Di conseguenza

semplifichiamo l'integranda e portiamo la costante fuori dal segno di integrale (in accordo con la proprietà di omogeneità dell'integrale)

In definitiva

Se vogliamo che i due logaritmi del risultato abbiano la stessa base ci basta usare la formula del cambiamento del base ed esprimere in base

Dunque

***

Concludiamo con un paio di link utili:

- integrali fondamentali, in cui trovi una tabella di riepilogo di tutti gli integrali notevoli;

- integrali indefiniti online, un tool con cui puoi verificare i risultati degli esercizi che svolgi autonomamente.