Soluzioni
  • L'area del pentagono è la misura della superficie racchiusa tra i lati del pentagono, e si calcola il modi diversi a seconda che il pentagono sia regolare (tutti e cinque i lati uguali) oppure irregolare. In particolare:

    • l'area di un pentagono regolare si può calcolare moltiplicando il quadrato della misura del lato per la costante d'area φ=1,72, oppure dividendo per due il prodotto tra il perimetro e l'apotema, o ancora usando una delle formule che vedremo tra poco.

    • L'area di un pentagono irregolare si calcola dividendo il pentagono in due o più poligoni di cui sappiamo calcolare l'area, per poi sommare i vari contributi d'area. Non esiste infatti alcuna formula che valga in generale e che permetta di calcolare l'area di un pentagono irregolare.

     

    Area pentagono

    Area pentagono regolare = L2 × φ

     

    Formule per l'area del pentagono

    Le formule per il calcolo dell'area che elenchiamo nella seguente tabella valgono per qualsiasi pentagono regolare. Chiamiamo A l'area, 2p il perimetro, a l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), R il raggio della circonferenza circoscritta, f il numero fisso, \varphi la costante d'area.

     

    Area del pentagono con lato e costante d'area (\varphi=1,72)

    A=L^2 \times \varphi

    Area del pentagono con lato e numero fisso (f=0,688)

    A=\frac{5L^2 \times f}{2}

    Area del pentagono con apotema e numero fisso

    A=\frac{5a^2}{2f}

    Area del pentagono con perimetro e apotema

    A=\frac{2p \times a}{2}

    Area del pentagono con raggio della circonferenza circoscritta

    A=\frac{R^2 \times 5\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{8}

     

    Per una tabella completa con tutte le formule sul pentagono, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'area del pentagono

    Vi proponiamo una serie di problemi risolti sul calcolo dell'area del pentagono, grazie ai quali avrete modo di notare che non è assolutamente necessario ricordare a memoria tutte le formule elencate in tabella. Per completezza riportiamo anche un esercizio svolto sull'area di un pentagono irregolare.

    Calcolo area pentagono con il lato

    Se si conosce la misura del lato di un pentagono regolare, per trovare l'area si può procedere in due modi del tutto equivalenti:

    - moltiplicare il quadrato della lunghezza del lato per la costante d'area

    A=L^2 \times \varphi

    - ricorrere alla seguente formula, che fa uso del numero fisso del pentagono

    A=\frac{5L^2 \times f}{2}

    Entrambe sono formule dirette che permettono di calcolare l'area disponendo della misura del lato, quindi scegliere l'una o l'altra è del tutto indifferente.

    Esempio

    Calcolare l'area di un pentagono regolare sapendo che il lato misura 5 centimetri.

    Ricorrendo alla formula con la costante d'area si ottiene

    A=L^2 \times \varphi = (5 \mbox{ cm})^2 \times 1,72 = 25 \mbox{ cm}^2 \times 1,72 = 43 \mbox{ cm}^2

    Optando per la formula con il numero fisso si ottiene lo stesso identico risultato:

    \\ A=\frac{5L^2 \times f}{2} = \frac{5 \times (5 \mbox{ cm})^2 \times 0,688}{2} = \\ \\ \\ = \frac{5 \times (25 \mbox{ cm}^2) \times 0,688}{2} = \frac{86 \mbox{ cm}^2}{2} = 43 \mbox{ cm}

    Calcolo area pentagono con l'apotema

    La formula diretta che consente di calcolare l'area dall'apotema prevede di moltiplicare il quadrato della lunghezza dell'apotema per 5 e dividere il risultato per il doppio del numero fisso

    A=\frac{5a^2}{2f}

    Esempio

    Trovare l'area di un pentagono circoscritto a una circonferenza il cui raggio misura 6,192 metri.

    Il raggio della circonferenza inscritta è l'apotema del pentagono, quindi il testo del problema ci fornisce la misura dell'apotema, da cui possiamo subito calcolare l'area.

    A=\frac{5a^2}{2f} = \frac{5 \times (6,192 \mbox{ m})^2}{2 \times 0,688} = \frac{191,70432 \mbox{ m}^2}{1,376} = 139,32 \mbox{ m}^2

    In alternativa, ricordando che l'apotema è definito come il prodotto tra lato e numero fisso

    a=L \times f

    si può risalire al lato invertendo la formula precedente

    L=\frac{a}{f} = \frac{6,192 \mbox{ m}}{0,688} = 9 \mbox{ m}

    per poi calcolare l'area moltiplicando il quadrato del lato per la costante d'area

    A=L^2 \times \varphi = (9 \mbox{ m})^2 \times 1,72 = 81 \mbox{ m}^2 \times 1,72 = 139,32 \mbox{ m}^2

    Calcolo area pentagono con il perimetro

    Se il problema fornisce la misura del perimetro di un pentagono regolare, per calcolarne l'area è sufficiente:

    - trovare la misura del lato dividendo il perimetro per 5;

    - calcolare l'area moltiplicando il quadrato del lato per la costante d'area.

    Se oltre al perimetro è nota la lunghezza dell'apotema si può ottenere l'area come semiprodotto tra apotema e perimetro

    A=\frac{2p \times a}{2}

    Esempio

    Il perimetro di un pentagono regolare è di 40 decimetri. Quanto vale la sua area?

    Per trovare l'area ci serve la misura del lato, che si ricava dal perimetro

    L=\frac{2p}{5} = \frac{40 \mbox{ dm}}{5} = 8 \mbox{ dm}

    Dopodiché possiamo calcolare l'area con la relativa formula

    A=L^2 \times \varphi = (8 \mbox{ dm})^2 \times 1,72 = 64 \mbox{ dm}^2 \times 1,72 = 110,08 \mbox{ dm}^2

    Calcolo area pentagono irregolare

    Per calcolare l'area di un pentagono irregolare non esistono formule che hanno una valenza generale. L'unico modo di procedere è quello di scomporre il pentagono in poligoni di cui conosciamo le formule per l'area, calcolare l'area di questi poligoni e sommare le aree ottenute.

    Esempio

    Calcolare l'area del pentagono irregolare raffigurato nella seguente immagine:

     

    Perimetro pentagono irregolare

     

    Tracciando il segmento che unisce i vertici E e C si divide il pentagono in due poligoni: un rettangolo e un triangolo rettangolo.

    L'area del pentagono si ottiene dalla somma delle aree dei due poligoni, che sappiamo come calcolare.

    Del rettangolo conosciamo le misure di base e altezza

    \\ \overline{AB}=13 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{CB}=3 \mbox{ cm}

    possiamo quindi calcolarne area

    A_{ABCE} = \overline{AB} \times \overline{CB} = (13 \mbox{ cm}) \times (3 \mbox{ cm}) = 39 \mbox{ cm}^2

    Passiamo ora al triangolo rettangolo, di cui sono note le misure dell'ipotenusa

    \overline{EC} = \overline{AB} = 13 \mbox{ cm}

    e del cateto

    \overline{ED}=5 \mbox{ cm}

    Per determinare l'area ci serve la misura del cateto CD, che calcoliamo con il teorema di Pitagora

    \\ \overline{CD}=\sqrt{\overline{EC}^2 - \overline{ED}^2} = \sqrt{(13 \mbox{ cm})^2-(5 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ = \sqrt{169 \mbox{ cm}^2 - 25 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{144 \mbox{ cm}^2} = 12 \mbox{ cm}

    Disponendo della misura dei due cateti possiamo calcolare l'area del triangolo rettangolo

    A_{ECD}=\frac{\overline{ED} \times \overline{CD}}{2} = \frac{(5 \mbox{ cm}) \times (12 \mbox{ cm})}{2} = \frac{60 \mbox{ cm}^2}{2} = 30 \mbox{ cm}^2

    Sommando l'area del rettangolo a quella del triangolo rettangolo si ottiene l'area del pentagono

    A_{ABCDE}=A_{ABCE}+A_{ECD} = 39 \mbox{ cm}^2 + 30 \mbox{ cm}^2 = 69 \mbox{ cm}^2

    ***

    Per altri esercizi svolti sull'area del pentagono potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Geometria