Soluzioni
  • L'area del rettangolo è la misura della superficie racchiusa tra i lati di un rettangolo. Si calcola come il prodotto tra base e altezza, cioè moltiplicando la misura della base del rettangolo per la misura dell'altezza.

     

    Area rettangolo

    Area rettangolo = b × h

     

    Formula per l'area del rettangolo

    Indicando con A l'area del rettangolo, con b la base e con h l'altezza, la formula per calcolare l'area del rettangolo è data da:

    A=b \times h

    L'area del rettangolo è quindi il prodotto tra le misure delle sue dimensioni.

    Per tutte le formule inverse dell'area del rettangolo potete consultare il nostro formulario sul rettangolo.

    Esercizi svolti sull'area del rettangolo

    Qui di seguito vi proponiamo le principali tipologie di esercizi sul calcolo dell'area del rettangolo, spiegando i vari passaggi e mostrandovi tutti i calcoli.

    Calcolo area rettangolo con base e altezza

    Se sono note le misure della base e dell'altezza del rettangolo, per calcolare l'area si deve moltiplicare la misura della base per la misura dell'altezza

    A=b \times h

    Esempio

    Calcolare l'area di un rettangolo sapendo che la base misura 12 centimetri e l'altezza è 1/3 della base.

    Dai dati forniti dal problema sappiamo che la base del rettangolo misura 12 cm

    b=12 \mbox{ cm}

    e che l'altezza del rettangolo equivale a 1/3 della base, ossia

    h=\frac{1}{3} \cdot 12 \mbox{ cm} = 4 \mbox{ cm}

    Conoscendo le misure di base e altezza possiamo trovare l'area del rettangolo

    A=b \times h = (12 \mbox{ cm}) \cdot (4 \mbox{ cm}) = 48 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area rettangolo con il perimetro

    Per calcolare l'area del rettangolo dal perimetro, oltre alla misura del perimetro il testo del problema ci deve fornire un'altra informazione, come ad esempio:

    - la misura dell'altezza;

    - la misura della base;

    - una relazione che leghi base e altezza, ad esempio la loro differenza, il loro prodotto o il loro rapporto.

    Esempi

    1) Il perimetro di un rettangolo è di 154 millimetri e la base misura 40 mm. Calcolare l'area del rettangolo.

    Il testo del problema ci fornisce la misura del perimetro

    2p = 154 \mbox{ mm}

    e la misura della base del rettangolo

    b = 40 \mbox{ mm}

    Il perimetro del rettangolo è il doppio della somma tra base e altezza

    2p=2(b+h)

    Possiamo quindi ricavare l'altezza del rettangolo mediante la formula inversa

    h=\frac{2p - 2b}{2}=\frac{154 \mbox{ mm} - 2\times (40 \mbox{ mm})}{2} = \frac{154 \mbox{ mm} - 80 \mbox{ m}}{2} = 37 \mbox{ mm}

    Conoscendo base e altezza è immediato calcolare l'area del rettangolo

    A=b \times h = (40 \mbox{ mm}) \times (37 \mbox{ mm}) = 1480 \mbox{ mm}^2

    2) Calcolare l'area di un rettangolo sapendo che il perimetro è di 230 decimetri e l'altezza misura 25 decimetri.

    Per trovare l'area del rettangolo ci manca la misura della base, che possiamo ottenere dal perimetro mediante la formula inversa

    b=\frac{2p-2h}{2}=\frac{230 \mbox{ dm} - 2 \times (50 \mbox{ dm})}{2} = \frac{230 \mbox{ dm} - 100 \mbox{ dm}}{2} = 65 \mbox{ dm}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare l'area del rettangolo

    A=b \times h = (65 \mbox{ dm}) \times (50 \mbox{ m}) = 3250 \mbox{ dm}^2

    3) Il perimetro di un rettangolo è 24 metri e la differenza tra base e altezza è di 3 metri. Calcolare l'area del rettangolo.

    Per risolvere questo problema possiamo ricorrere al metodo grafico oppure alle equazioni; vediamo entrambi i metodi, lasciando a voi la scelta di quello che fa al caso vostro.

    • Procediamo dapprima come visto nei problemi sui segmenti con somma e differenza.

    Il testo del problema ci fornisce i seguenti dati:

    \\ 2p = 24 \mbox{ m} \\ \\ b-h=3 \mbox{ m}

    Scriviamo la formula del perimetro del rettangolo, sostituiamo la misura del perimetro e ricaviamo la somma delle basi

    \\ 2p=2(b+h) \\ \\ 24 \mbox{ m} = 2(b+h) \\ \\ 2(b+h) = 24 \mbox{ m} \\ \\ b+h = \frac{24 \mbox{ m}}{2} \\ \\ b+h = 12 \mbox{ m}

    Rappresentiamo base e altezza con due segmenti e ricaviamo graficamente la loro differenza, che sappiamo essere uguale a 3 metri.

     

    Calcolo area rettangolo

     

    Guardando la precedente rappresentazione grafica possiamo concludere che

    \\ h=\frac{(12 \mbox{ m} - 3 \mbox{ m})}{2} = \frac{9 \mbox{ m}}{2} = 4,5 \mbox{ m}\\ \\ b=h+3 \mbox{ m} = 4,5 \mbox{ m} + 3 \mbox{ m} = 7,5 \mbox{ m}

    Calcoliamo l'area del rettangolo

    A=b \times h = (4,5 \mbox{ m}) \times (7,5 \mbox{ m}) = 33,75 \mbox{ m^2}

    • In alternativa, per trovare la misura di base e altezza del rettangolo possiamo usare le equazioni.

    Riscriviamo i dati del problema

    \\ 2p=24 \mbox{ m} \\ \\ b-h=3 \mbox{ m}

    Scriviamo per esteso la formula del perimetro e sostituiamone il valore

    \\ 2p=2(b+h) \\ \\ 2(b+h) = 24 \mbox{ m} \\ \\ b+h=12 \mbox{ m}

    In definitiva sappiamo che

    \\ b-h=3 \mbox{ m} \\ \\ b+h=12 \mbox{ m}

    Dalla prima relazione ricaviamo b in funzione di h e, per comodità, tralasciamo momentaneamente l'unità di misura.

    b=h+3

    Sostituiamo nella seconda

    \\ \underbrace{h+3}_{b}+h=12

    che ci fornisce un'equazione di primo grado nell'incognita h

    \\ h+3+h=12 \\ \\ h+h = 12-3 \\ \\ 2h = 9 \\ \\ h = \frac{9}{2} = 4,5

    Ossia

    h=4,5 \mbox{ m}

    e, di conseguenza

    b=h+3\mbox{ m} = 4,5 \mbox{ m} + 3 \mbox{ m} = 7,5 \mbox{ m}

    Come potete osservare abbiamo ottenuto gli stessi identici risultati. ;)

    Calcolo area rettangolo con la diagonale

    Conoscere la sola misura della diagonale del rettangolo non è sufficiente per calcolare l'area; oltre alla diagonale il testo del problema deve fornirci la misura della base o la misura dell'altezza del rettangolo.

    Se sono note le misure della diagonale e di una delle due dimensioni del rettangolo, si può ricavare la misura dell'altra dimensione ricorrendo al teorema di Pitagora. La diagonale del rettangolo lo divide infatti in due triangoli rettangoli, di cui l'ipotenusa è la diagonale e i due cateti sono base e altezza.

    Esempio

    La diagonale di un rettangolo misura 5 decametri e la base del rettangolo è lunga 3 dam. Calcolare l'area del rettangolo.

    Indicando con d la diagonale, con b la base e con h l'altezza, possiamo ricavare la misura dell'altezza col teorema di Pitagora

    h=\sqrt{d^2-b^2} = \sqrt{ (5 \mbox{ dam})^2 - (3 \mbox{ dam})^2 } = \sqrt{16 \mbox{ dam}^2} = 4 \mbox{ dam}

    Conoscendo base e altezza possiamo determinare l'area del rettangolo

    A=b\times h = (3 \mbox{ dam}) \times (4 \mbox{ dam}) = 12 \mbox{ dam}^2

    ***

    Se volete continuare ad allenarvi potete dare uno sguardo ai problemi svolti sul rettangolo. ;)

    Risposta di Galois
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