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  • Il fattoriale di zero, indicato con 0!, vale 1. La definizione di fattoriale stabilisce che il fattoriale di un numero naturale positivo è dato dal prodotto tra il numero considerato e tutti i numeri interi positivi che lo precedono, e nel caso specifico di zero pone per convenzione che sia 0!=1.

    Vediamo di capire perché.

    0 fattoriale e definizione di fattoriale

    Richiamiamo brevemente la definizione di fattoriale di un numero naturale. Dato un numero naturale n∈N, ossia un qualsiasi numero intero non negativo, indichiamo con n! il fattoriale di n e diciamo che:

    - se n = 0, il fattoriale di zero vale 1;

    - se n > 0, il fattoriale di n è il prodotto tra n e ognuno dei numeri interi positivi che lo precedono.

    In simboli matematici:

    n! = 1 se n = 0 ; n·(n-1)·...·2·1 se n ∈ N, n ≠ 0

    In alternativa si può esprimere la definizione in forma ricorsiva, ponendo

    n! = 1 se n = 0 ; n·(n-1)! se n ∈ N, n ≠ 0

    Perché zero fattoriale vale 1

    È la stessa definizione a dirci che 0!=1, dunque non ci sarebbe molto da capire. Il valore di zero fattoriale è una scelta che rientra nella definizione stessa, quindi non c'è nulla da dimostrare perché è per l'appunto una scelta.

    Ha senso però domandarsi perché si sia convenuto di attribuire al fattoriale di zero il valore 1 e non, ad esempio, 0.

    A questo proposito è utile fare un breve ripasso sui numeri naturali. Scegliere se includere o meno lo zero nei naturali è una scelta arbitraria, e per quel che ci riguarda riteniamo più conveniente considerare N come l'insieme dei numeri interi non negativi

    N = 0,1,2,3,...

    Non tutti sono dello stesso avviso. A seconda delle fonti, si considera N come l'insieme dei numeri interi positivi

    N = 1,2,3,...

    Chi esclude lo zero dall'insieme dei numeri naturali usa la notazione N_0 per includervi anche lo zero; chi include lo zero in N usa invece la notazione N^* per escluderne lo zero.

    Riepilogando:

    Scelta A: N = 0,1,2,3,... → N^* = 1,2,3,... ; Scelta B: N = 1,2,3,... → N_0 = 0,1,2,3,...

    Quale che sia il caso, la definizione di fattoriale viene sempre fornita riferendosi in generale ai numeri naturali. Per convenzione si è quindi stabilito di porre 0 fattoriale uguale a 1 per far sì che non vi fossero incongruenze nella definizione ricorsiva, e in particolare nel caso n = 1.

    Se si pone

    0! = 1

    risulta infatti

    (n ≥ 1) n! = n·(n-1)! → (n = 1) 1! = 1·0! = 1·1 = 1

    sia per chi include lo zero in N, sia per chi non lo include in N. La definizione ricorsiva è ben posta in entrambi i casi.

    ***

    Se vuoi saperne di più sul fattoriale, vedere degli esempi svolti e leggerne le principali proprietà, ti raccomandiamo di leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

    Risposta di Omega
 
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