0 fattoriale

Il fattoriale di zero, indicato con 0!, vale 1. La definizione di fattoriale stabilisce che il fattoriale di un numero naturale positivo è dato dal prodotto tra il numero considerato e tutti i numeri interi positivi che lo precedono, e nel caso specifico di zero pone per convenzione che sia 0!=1.

Vediamo di capire perché.

0 fattoriale e definizione di fattoriale

Richiamiamo brevemente la definizione di fattoriale di un numero naturale. Dato un numero naturale , ossia un qualsiasi numero intero non negativo, indichiamo con il fattoriale di e diciamo che:

- se , il fattoriale di zero vale 1;

- se , il fattoriale di è il prodotto tra e ognuno dei numeri interi positivi che lo precedono.

In simboli matematici:

In alternativa si può esprimere la definizione in forma ricorsiva, ponendo

Perché zero fattoriale vale 1

È la stessa definizione a dirci che 0!=1, dunque non ci sarebbe molto da capire. Il valore di zero fattoriale è una scelta che rientra nella definizione stessa, quindi non c'è nulla da dimostrare perché è per l'appunto una scelta.

Ha senso però domandarsi perché si sia convenuto di attribuire al fattoriale di zero il valore 1 e non, ad esempio, 0.

A questo proposito è utile fare un breve ripasso sui numeri naturali. Scegliere se includere o meno lo zero nei naturali è una scelta arbitraria, e per quel che ci riguarda riteniamo più conveniente considerare come l'insieme dei numeri interi non negativi

Non tutti sono dello stesso avviso. A seconda delle fonti, si considera come l'insieme dei numeri interi positivi

Chi esclude lo zero dall'insieme dei numeri naturali usa la notazione per includervi anche lo zero; chi include lo zero in usa invece la notazione per escluderne lo zero.

Riepilogando:

Quale che sia il caso, la definizione di fattoriale viene sempre fornita riferendosi in generale ai numeri naturali. Per convenzione si è quindi stabilito di porre 0 fattoriale uguale a 1 per far sì che non vi fossero incongruenze nella definizione ricorsiva, e in particolare nel caso .

Se si pone

risulta infatti

sia per chi include lo zero in , sia per chi non lo include in . La definizione ricorsiva è ben posta in entrambi i casi.

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Se vuoi saperne di più sul fattoriale, vedere degli esempi svolti e leggerne le principali proprietà, ti raccomandiamo di leggere la lezione dell'omonimo link. ;)