Il fattoriale di zero, indicato con 0!, vale 1. La definizione di fattoriale stabilisce che il fattoriale di un numero naturale positivo è dato dal prodotto tra il numero considerato e tutti i numeri interi positivi che lo precedono, e nel caso specifico di zero pone per convenzione che sia 0!=1.
Vediamo di capire perché.
0 fattoriale e definizione di fattoriale
Richiamiamo brevemente la definizione di fattoriale di un numero naturale. Dato un numero naturale
, ossia un qualsiasi numero intero non negativo, indichiamo con
il fattoriale di
e diciamo che:
- se
, il fattoriale di zero vale 1;
- se
, il fattoriale di
è il prodotto tra
e ognuno dei numeri interi positivi che lo precedono.
In alternativa si può esprimere la definizione in forma ricorsiva, ponendo
Perché zero fattoriale vale 1
È la stessa definizione a dirci che 0!=1, dunque non ci sarebbe molto da capire. Il valore di zero fattoriale è una scelta che rientra nella definizione stessa, quindi non c'è nulla da dimostrare perché è per l'appunto una scelta.
Ha senso però domandarsi perché si sia convenuto di attribuire al fattoriale di zero il valore 1 e non, ad esempio, 0.
A questo proposito è utile fare un breve ripasso sui numeri naturali. Scegliere se includere o meno lo zero nei naturali è una scelta arbitraria, e per quel che ci riguarda riteniamo più conveniente considerare
come l'insieme dei numeri interi non negativi
Non tutti sono dello stesso avviso. A seconda delle fonti, si considera
come l'insieme dei numeri interi positivi
Chi esclude lo zero dall'insieme dei numeri naturali usa la notazione
per includervi anche lo zero; chi include lo zero in
usa invece la notazione
per escluderne lo zero.
Riepilogando:
Quale che sia il caso, la definizione di fattoriale viene sempre fornita riferendosi in generale ai numeri naturali. Per convenzione si è quindi stabilito di porre 0 fattoriale uguale a 1 per far sì che non vi fossero incongruenze nella definizione ricorsiva, e in particolare nel caso
.
Se si pone
risulta infatti
sia per chi include lo zero in
, sia per chi non lo include in
. La definizione ricorsiva è ben posta in entrambi i casi.
***
Se vuoi saperne di più sul fattoriale, vedere degli esempi svolti e leggerne le principali proprietà, ti raccomandiamo di leggere la lezione dell'omonimo link. ;)
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