Derivata di 1/x
Come si calcola la derivata di 1/x e quanto vale? Vorrei vedere quali sono i procedimenti per calcolare la derivata della funzione 1/x, con i vari passaggi commentati.
In particolare vorrei sapere se per calcolare la derivata di 1/x è necessario usare la definizione di derivata oppure se c'è un modo più veloce, come ad esempio una regola di derivazione.
La derivata di 1/x è data dal reciproco di x^2 cambiato di segno, ossia la derivata della funzione f(x)=1/x è f'(x)=-1/x^2; la derivata di 1/x si può calcolare mediante la definizione di derivata oppure mediante la regola di derivazione del quoziente.
![(d)/(dx)[(1)/(x)] = -(1)/(x^2)](/images/joomlatex/7/6/764b54d8c3e04818a0b33119f293637c.gif)
Derivata di 1/x come derivata di una potenza
Il primo metodo consiste nel riscrivere la funzione come una potenza con esponente negativo, per poi applicare la relativa formula di derivazione delle potenze:
Con questa premessa possiamo applicare la regola per la derivata di una potenza del tipo x^n:
![(d)/(dx)[(1)/(x)] = (d)/(dx)[x^(-1)] = (-1)x^(-1-1) = -x^(-2) = -(1)/(x^2)](/images/joomlatex/f/b/fb4d6d37ed18e374e8f0f8de23179f2b.gif)
quindi
![f'(x) = (d)/(dx)[(1)/(x)] = -(1)/(x^2)](/images/joomlatex/8/e/8e3702dc32acc1fad441d65e91c20f71.gif)
A questo proposito per approfondire ti rimando alla tabella delle derivate fondamentali.
Derivata di 1/x come derivata di un rapporto
Il secondo metodo si basa sulla regola per la derivata del rapporto. Il risultato naturalmente è lo stesso
![(d)/(dx)[(1)/(x)] = ((d)/(dx)[1]·x-1·(d)/(dx)[x])/(x^2) =](/images/joomlatex/e/b/eb3a6f69ef2884e824705cb003cfe342.gif)
da cui
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Per approfondire puoi leggere la lezione sul calcolo delle derivate.
Fine! Nel caso servisse, ricordati che puoi sempre usare il tool per le derivate online per risolvere qualsiasi dubbio in merito. ;)