Retta parallela a due piani

Ciao Revictor, arrivo a risponderti...

Premetto che ci sono delle considerazioni preliminari da effettuare in merito alla mutua posizione dei due piani.

Nello spazio tridiminsionale due piani possono essere paralleli, coincidenti oppure possono intersecarsi in una retta.

Se i due piani si intersecano in una retta, tale retta è certamente parallela ai due piani.

Se i due piani coincidono, una qualsiasi retta appartenente al piano comune è parallela ad entrambi.

Se i due piani sono paralleli, una qualsiasi retta appartenente ad uno dei due piani è parallela ad entrambi i piani.

L'unico caso interessante è il primo, quello in cui i due piani si intersecano in una retta. In tal caso se i due piani sono dati in forma cartesiana hai automaticamente le equazioni cartesiane.

Se i due piani sono individuati da coppie di vettori linearmente indipendenti che generano i due piani, puoi scrivere le equazioni parametriche e desumerne le equazioni cartesiane con semplici passaggi algebrici. In alternativa, il che è certamente un metodo più veloce, puoi determinare le direzioni perpendicolari ai due piani effettuando il prodotto vettoriale tra i vettori di una coppia e i vettori dell'altra coppia. I due vettori che ne risultano sono rispettivamente ortogonali al primo e al secondo piano.

Il prodotto vettoriale tra questi due vettori individuerà la direzione della retta data dall'intersezione tra i due piani.

Namasté!

Ho capito, ma in un esercizio del genere

Io non ho analizzato le condizioni preliminari, come dovrei comportarmi?

Essendo queste le equazioni dei due piani, non devi fare nemmeno mezzo conto: le due equazioni cartesiane che hai scritto individuano due piani che non coincidono né sono paralleli, infatti hanno direzioni ad essi ortogonali date rispettivamente da e desunte attraverso i coefficienti direttori delle equazioni.

Le due direzioni ortogonali non sono linearmente dipendenti, quindi i due piani non sono paralleli.

Il punto appartiene al primo piano, ma non al secondo. I due piani non coincidono.

Le equazioni che hai scritto individuano già una retta parallela ai due piani, la retta che i due piani individuano per intersezione. 

Se vuoi puoi scrivere l'equazione della retta in forma parametrica, assegnando ad una delle tre coordinate il ruolo di parametro, diciamo , e sostituendolo nelle due equazioni date. Da qui sarà semplicissimo dedurre la direzione della retta.

Namasté!