Soluzioni
  • Ciao nike1290 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Dobbiamo calcolare:

    \int_{0}^4 \frac{x}{x-1}dx

    Ora seguimi attentamente, puoi osservare che abbiamo un denominatore che si annulla per x=1. Questo valore appartiene all'intervallo di integrazione [0, 4], quindi dobbiamo "splittare" l'integrale in due parti:

    \int_{0}^{4}\frac{x}{x-1}dx= \int_{0}^1\frac{x}{x-1}dx+\int_{1}^{4}\frac{x}{x+1}dx

    Risolviamo il primo integrale:

    \int_{0}^{1}\frac{x}{x-1}dx

    Abbiamo detto che 1 crea problemi al denominatore, siamo di fronte ad un integrale improprio di seconda specie, procediamo con la definizione.

    \int_{0}^{1}\frac{x}{x-1}dx= \lim_{M\to 1^{-}}\int_{0}^{M}\frac{x}{x-1}dx

    L'integrale:

    \int \frac{x}{x-1}dx=x+\ln|x-1|+c

    di conseguenza:

    \int_{0}^{M} \frac{x}{x-1}= M+\ln|M-1|-0+\ln|0-1|= M+\ln|M-1|

    e quindi:

    \int_{0}^{1}\frac{x}{x-1}=\lim_{M\to 1^{-}}\int_{0}^{M}\frac{x}{x-1}dx=

    \lim_{M\to 1^{-}}M+\ln|M-1|= -\infty

    Consideriamo ora l'altro integrale:

    \int_{1}^{4}\frac{x}{x-1}dx= \lim_{m\to 1^+}\int_{m}^{4}\frac{x}{x-1}dx=

    Ora:

    \int_{m}^4\frac{x}{x-1}dx=4+\ln|4-1|- m-\ln|m-1|

    \lim_{m\to 1^+}4+\ln|3|-m-\ln|m-1|= +\infty

    L'integrale di partenza si scrive come somma di integrali positivamente divergenti, quindi diverge :D

    Risposta di Ifrit
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