Equazione goniometrica lineare con il metodo grafico

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Dovrei determinare le eventuali soluzioni di un'equazione goniometrica lineare, avvalendomi del metodo del passaggio al sistema, affiancato al metodo grafico. Potreste darmi una mano per favore?

 

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica lineare

 

√(3)sin(x)+3cos(x)+3 = 0

 

Grazie.

Domanda di

 
Soluzioni

  • Proponiamoci l'obiettivo di risolvere l'equazione goniometrica lineare

    √(3)sin(x)+3cos(x)+3 = 0

    con il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di costruire un sistema di equazioni goniometriche formato dall'equazione data e dalla relazione fondamentale della goniometria.

    cos^2(x)+sin^2(x) = 1 per ogni x∈R

    Il sistema di equazioni è quindi

    √(3)sin(x)+3cos(x)+3 = 0 ; cos^2(x)+sin^2(x) = 1

    Al fine di semplificare le notazioni, associamo a seno e coseno le seguenti incognite ausiliarie

    X = cos(x) , Y = sin(x)

    che ci autorizzano a riscrivere il sistema nella forma

    √(3)Y+3X+3 = 0 ; X^2+Y^2 = 1

    che nel piano cartesiano OXY individua i punti di intersezione tra la retta di equazione

    √(3)Y+3X+3 = 0

    e la circonferenza goniometrica, di equazione

    X^2+Y^2 = 1

    Risolviamo il sistema per sostituzione. Dalla prima equazione, esprimiamo X in termini di Y

    √(3)Y+3X+3 = 0 → X = -1-(√(3))/(3)Y

    e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione del sistema

    X = -(√(3))/(3)Y-1 ; (-(√(3))/(3)Y-1)^2+Y^2 = 1

    Ora sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli nella seconda relazione

    X = -(√(3))/(3)Y-1 ; (Y^2)/(3)+(2√(3) Y)/(3)+1+Y^2 = 1 → (2√(3)Y+4Y^2)/(3) = 0

    Consideriamo per il momento esclusivamente la relazione

    (4Y^2+2√(3)Y)/(3) = 0

    Moltiplichiamo i due membri per 3

    4Y^2+2√(3)Y = 0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione spuria nell'incognita Y che possiamo risolvere raccogliendo  il fattore comune 2Y

    2Y(2Y+√(3)) = 0

    Interviene la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se sussistono le equazioni

    2Y = 0 → Y = 0 ; 2Y+√(3) = 0 → Y = -(√(3))/(2)

    Ricavati i valori di Y, possiamo determinare quelli di X sfruttando l'equazione

    X = -(√(3))/(3)Y-1

    A Y = 0 associamo

    X = -(√(3))/(3)·0-1 = -1

    A Y = -(√(3))/(3) associamo

    X = -(√(3))/(3)·(-(√(3))/(2))-1 = -(1)/(2)

    Il sistema nelle incognite X e Y è dunque soddisfatto dalle coppie ordinate

    (X,Y) = (-1,0) e (X,Y) = (-(1)/(2),-(√(3))/(2))

    Ricordando che X = cos(x) e Y = sin(x), alla coppia (X,Y) = (-1,0) associamo il sistema

    sin(x) = 0 → x = 2kπ ∨ x = π+2kπ ; cos(x) = -1 → x = π+2kπ

    soddisfatto dalla famiglia di soluzioni

    x = π+2kπ per ogni k∈Z

    Alla coppia (X,Y) = (-(1)/(2), -(√(3))/(2)) associamo il sistema

    sin(x) = -(√(3))/(2) → x = (4π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ ; cos(x) = -(1)/(2) → x = (2π)/(3)+2kπ ∨ x = (4π)/(3)+2kπ

    da cui ricaviamo la seconda famiglia di soluzioni, vale a dire

    x = (4π)/(3)+2kπ per ogni k∈Z

    In definitiva possiamo concludere che l'equazione lineare in seno e coseno

    √(3)sin(x)+3cos(x)+3 = 0

    è soddisfatta dai seguenti valori

    x = π+2kπ ∨ x = (4π)/(3)+2kπ

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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