Soluzioni
  • Proponiamoci l'obiettivo di risolvere l'equazione goniometrica lineare

    \sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)+3=0

    con il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di costruire un sistema di equazioni goniometriche formato dall'equazione data e dalla relazione fondamentale della goniometria.

    \cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Il sistema di equazioni è quindi

    \begin{cases}\sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)+3=0 \\ \\ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\end{cases}

    Al fine di semplificare le notazioni, associamo a seno e coseno le seguenti incognite ausiliarie

    X=\cos(x) \ \ \ , \ \ \  Y=\sin(x)

    che ci autorizzano a riscrivere il sistema nella forma

    \begin{cases}\sqrt{3}Y+3X+3=0\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

    che nel piano cartesiano OXY individua i punti di intersezione tra la retta di equazione

    \sqrt{3}Y+3X+3=0

    e la circonferenza goniometrica, di equazione

    X^2+Y^2=1

    Risolviamo il sistema per sostituzione. Dalla prima equazione, esprimiamo X in termini di Y

    \sqrt{3}Y+3X+3=0 \ \ \ \to \ \ \ X=-1-\frac{\sqrt{3}}{3}Y

    e sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda equazione del sistema

    \begin{cases}X=-\frac{\sqrt{3}}{3}Y-1\\ \\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}Y-1\right)^2+Y^2=1\end{cases}

    Ora sviluppiamo il quadrato di binomio e svolgiamo i calcoli nella seconda relazione

    \begin{cases}X=-\frac{\sqrt{3}}{3}Y-1\\ \\ \frac{Y^2}{3}+\frac{2\sqrt{3} Y}{3}+1+Y^2=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{2\sqrt{3}Y+4Y^2}{3}=0\end{cases}

    Consideriamo per il momento esclusivamente la relazione

    \frac{4Y^2+2\sqrt{3}Y}{3}=0

    Moltiplichiamo i due membri per 3

    4Y^2+2\sqrt{3}Y=0

    Ci siamo ricondotti a un'equazione spuria nell'incognita Y che possiamo risolvere raccogliendo  il fattore comune 2Y

    2Y(2Y+\sqrt{3})=0

    Interviene la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se sussistono le equazioni

    \\ 2Y=0 \ \ \ \to \ \ \ Y=0\\ \\ 2Y+\sqrt{3}=0 \ \ \ \to \ \ \ Y=-\frac{\sqrt{3}}{2}

    Ricavati i valori di Y, possiamo determinare quelli di X sfruttando l'equazione

    X=-\frac{\sqrt{3}}{3}Y-1

    A Y=0 associamo

    X=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 0-1=-1

    A Y=-\frac{\sqrt{3}}{3} associamo

    X=-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-1=-\frac{1}{2}

    Il sistema nelle incognite X \ \mbox{e} \ Y è dunque soddisfatto dalle coppie ordinate

    (X,Y)=\left(-1,0\right) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (X,Y)=\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

    Ricordando che X=\cos(x)\ \mbox{e} \ Y=\sin(x), alla coppia (X,Y)=(-1,0) associamo il sistema

    \begin{cases}\sin(x)=0 \ \ \to \ \ \ x=2k\pi \ \ \vee \ \ x=\pi+2k\pi \\ \\ \cos(x)=-1 \ \ \ \to \ \ \ x=\pi+2k\pi\end{cases}

    soddisfatto dalla famiglia di soluzioni

    x=\pi+2k\pi \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{Z}

    Alla coppia (X,Y)=\left(-\frac{1}{2}, \ -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) associamo il sistema

    \begin{cases}\sin(x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\\ \\ \cos(x)=-\frac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\end{cases}

    da cui ricaviamo la seconda famiglia di soluzioni, vale a dire

    x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \mbox{per ogni}\  k\in\mathbb{Z}

    In definitiva possiamo concludere che l'equazione lineare in seno e coseno

    \sqrt{3}\sin(x)+3\cos(x)+3=0

    è soddisfatta dai seguenti valori

    x=\pi +2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi

    dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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