Soluzioni
  • Consideriamo le rette s\ \mbox{e}\ q definite dalle relazioni:

    \\ s: \ \begin{cases}x-1=0\\ y-z+2=0\end{cases} \\ \\ \\ q:\ \begin{cases}2x+y-1=0\\ x+z-1=0\end{cases}

    Il nostro obiettivo consiste nel determinare una rappresentazione della retta incidente e ortogonale a entrambe le rette: il primo passo prevede di studiare la loro mutua posizione.

    A questo proposito, proprio perché conosciamo le equazioni cartesiane delle rette, consideriamo la matrice composta dai coefficienti delle rappresentazioni cartesiane dei piani che definiscono s\ \mbox{e} \ q

    A=\begin{pmatrix}1&0&0&-1\\ 0&1&-1&2\\ 2&1&0&-1\\ 1&0&1&-1\end{pmatrix}

    Se il determinante della matrice è diverso da zero, allora r,s sono rette sghembe; in caso contrario sono rette complanari.

    Usando la regola di Laplace, sviluppando lungo la prima riga, scopriamo che il determinante di A è uguale a 1.

    \mbox{det}(A)=1\ne 0

    pertanto s\ \mbox{e} \ q sono rette sghembe.

    In questo caso, per ricavare la retta r che incide sia s che q e ortogonale a entrambe bisogna attenersi a una strategia ben precisa.

    Passiamo dalle rappresentazioni cartesiane delle rette a quelle parametriche, cominciando dalla retta s

    \begin{cases}x-1=0\\ y-z+2=0\end{cases}

    Isoliamo x al primo membro della prima relazione e y al primo membro della seconda

    \begin{cases}x=1\\ y=-2+z\end{cases}

    Eleggiamo a parametro libero z: poniamo z=t e scriviamo la seguente rappresentazione parametrica di s

    s:\ \begin{cases}x=1\\ y=-2+t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Procediamo allo stesso modo con q

    \begin{cases}2x+y-1=0\\ x+z-1=0\end{cases}

    Isoliamo y al primo membro della prima relazione e z al primo membro della seconda

    \begin{cases}y=1-2x\\ z=1-x\end{cases}

    dopodiché eleggiamo a parametro libero x, ponendo x=u.

    q:\ \begin{cases}x=u\\ y=1-2u\\ z=1-u\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ u\in\mathbb{R}

    Individuiamo due vettori che definiscono le direzioni delle rette s\ \mbox{e}\ q che indichiamo con \mathbf{v}_{s}\ \mbox{e} \ \mathbf{v}_{q}.

    \\ \mathbf{v}_{s}=(l_{s},m_{s},n_{s})=(0,1,1)\\ \\ \mathbf{v}_{q}=(l_{q},m_{q},n_{q})=(1,-2,-1)

    Consideriamo i punti mobili

    \\ S(x_{S},y_{S},z_{S})=(1,-2+t,t)\in s\ \ \ \forall t\in\mathbb{R} \\ \\ Q(x_{Q},y_{Q},z_{Q})=(u,1-2u,1-u)\in q\ \ \ \ \forall u\in\mathbb{R}

    e costruiamo il vettore congiungente \mathbf{v}=\overrightarrow{SQ}.

    \\ \mathbf{v}=\overrightarrow{SQ}=(x_{Q}-x_{S},y_{Q}-y_{S},z_{Q}-z_{S})=\\ \\ =(-1+u,3-t-2u,1-t-u)

    Il nostro compito diventa quello di trovare due numeri reali t_{0}, \ u_{0} in modo tale che \mathbf{v} sia perpendicolare ai vettori \mathbf{v}_{s} e \mathbf{v}_{q}, ecco perché consideriamo il sistema lineare ottenuto uguagliando a zero i prodotti scalari tra \mathbf{v} e i vettori direttori.

    \begin{cases}\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_s=0\\ \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}_{q}=0\end{cases}

    ossia

    \begin{cases}(-1+u,3-t-2u,1-t-u)\cdot(0,1,1)=0\\ \\ (-1+u,3-t-2u,1-t-u)\cdot (1,-2,-1)=0\end{cases}

    Sviluppati i prodotti scalari e svolti i semplici calcoli, otteniamo il sistema

    \begin{cases}4-2t-3u=0\\ 6u+3t-8=0\end{cases}

    soddisfatto univocamente dalla coppia

    (t_0,u_0)=\left(0,\frac{4}{3}\right)

    Sostituiamo i valori di t_{0}=0 e u_{0}=\frac{4}{3} nelle componenti di \mathbf{v}, esplicitando così il vettore direttore della retta r.

    \mathbf{v}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)

    Per scrivere una rappresentazione di r ci manca un punto per cui passa P. Per determinarlo è sufficiente sostituire t_0=0 nelle equazioni parametriche di s ottenendo

    P(x_{P},y_{P},z_{P})=(1,-2,0)

    Usando P e \mathbf{v}, siamo in grado di scrivere la seguente equazione vettoriale per r

    r:\ \mathbf{x}=P+\mathbf{v} t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

     vale a dire

    r:\ (x,y,z)=(1,-2,0)+\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)t\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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