Equazione goniometrica con seno e coseno

Salve, potreste aiutarmi a risolvere questa equazione goniometrica in cui compaiono il seno e il coseno?

2cos(x)-rad(2)-cos^2(x)+sen^2(x)=0.

Vi ringrazio!

Domanda di
Soluzioni

Ciao Remaxer, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Per risolvere l'equazione

2cos(x)−√(2)−cos^2(x)+sin^2(x) = 0

possiamo sfruttare l'identità fondamentale della trigonometria

sin^2(x)+cos^2(x) = 1

e riscrivere

sin^2(x) = 1−cos^2(x)

In questo modo passiamo all'equazione

2cos(x)−√(2)−cos^2(x)+1−cos^2(x) = 0

2cos(x)−√(2)−2cos^2(x)+1 = 0

Possiamo allegramente sostituire t = cos(x), di modo da passare ad un'equazione di secondo grado

−2t^2+2t+1−√(2) = 0

o anche

2t^2−2t+√(2)−1 = 0

Questa equazione si risolve con il procedimento standard, cioè con la formula del discriminante (delta) per equazioni di secondo grado

t_(1,2) = (2±√(4−8(√(2)−1)))/(4) = (2±√(12−8√(2)))/(4)

Troviamo, come soluzioni

t_1 = (1)/(√(2))

e

t_2 = 1−(1)/(√(2))

Ricordando che t = cos(x), passiamo alle due equazioni trigonometriche

cos(x) = (1)/(√(2)) ⇒ x = ±(π)/(4)+2kπ

e

cos(x) = 1−(1)/(√(2)) → x = ± arccos(1−(1)/(√(2)))+2kπ

Namasté!

Risposta di Omega

Domande della categoria Scuole Superiori - Algebra
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