Soluzioni
  • Ciao Remaxer, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere l'equazione

    2\cos{(x)}-\sqrt{2}-\cos^2{(x)}+\sin^2{(x)}=0

    possiamo sfruttare l'identità fondamentale della trigonometria

    \sin^2{(x)}+\cos^2{(x)}=1

    e riscrivere

    \sin^2{(x)}=1-\cos^2{(x)}

    In questo modo passiamo all'equazione

    2\cos{(x)}-\sqrt{2}-\cos^2{(x)}+1-\cos^2{(x)}=0

    2\cos{(x)}-\sqrt{2}-2\cos^2{(x)}+1=0

    Possiamo allegramente sostituire t=\cos{(x)}, di modo da passare ad un'equazione di secondo grado

    -2t^2+2t+1-\sqrt{2}=0

    o anche

    2t^2-2t+\sqrt{2}-1=0

    Questa equazione si risolve con il procedimento standard, cioè con la formula del discriminante (delta) per equazioni di secondo grado

    t_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-8(\sqrt{2}-1)}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{12-8\sqrt{2}}}{4}

    Troviamo, come soluzioni

    t_1=\frac{1}{\sqrt{2}}

    e

    t_2=1-\frac{1}{\sqrt{2}}

    Ricordando che t=\cos{(x)}, passiamo alle due equazioni trigonometriche

    \cos{(x)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi

    e

    cos{(x)}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\to x=\pm \arccos{\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}+2k\pi

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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