Equazione goniometrica con seno e coseno

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Salve, potreste aiutarmi a risolvere questa equazione goniometrica in cui compaiono il seno e il coseno?

 

2cos(x)-rad(2)-cos^2(x)+sen^2(x)=0.

 

Vi ringrazio!

Domanda di

 
Soluzioni

  • Ciao Remaxer, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere l'equazione

    2cos(x)-√(2)-cos^2(x)+sin^2(x) = 0

    possiamo sfruttare l'identità fondamentale della trigonometria

    sin^2(x)+cos^2(x) = 1

    e riscrivere

    sin^2(x) = 1-cos^2(x)

    In questo modo passiamo all'equazione

    2cos(x)-√(2)-cos^2(x)+1-cos^2(x) = 0

    2cos(x)-√(2)-2cos^2(x)+1 = 0

    Possiamo allegramente sostituire t = cos(x), di modo da passare ad un'equazione di secondo grado

    -2t^2+2t+1-√(2) = 0

    o anche

    2t^2-2t+√(2)-1 = 0

    Questa equazione si risolve con il procedimento standard, cioè con la formula del discriminante (delta) per equazioni di secondo grado

    t_(1,2) = (2±√(4-8(√(2)-1)))/(4) = (2±√(12-8√(2)))/(4)

    Troviamo, come soluzioni

    t_1 = (1)/(√(2))

    e

    t_2 = 1-(1)/(√(2))

    Ricordando che t = cos(x), passiamo alle due equazioni trigonometriche

    cos(x) = (1)/(√(2)) ⇒ x = ±(π)/(4)+2kπ

    e

    cos(x) = 1-(1)/(√(2)) → x = ± arccos(1-(1)/(√(2)))+2kπ

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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