Dimostrazione sul rettangolo

Salve! Mi spieghereste come fare la dimostrazione in questo esercizio sul rettangolo?

Dagli estremi di un segmento AB traccia due rette parallele a e b e quindi traccia le bisettrici dei quattro angoli che tale segmento forma con a e b. Detti P e Q i punti di intersezione di tali bisettrici, dimostra che APBQ è un rettangolo e che il segmento PQ è parallelo alle rette a e b. In quale caso APBQ è un quadrato?

Grazie in anticipo. :)

Domanda di marklycons
Soluzioni

Ciao Mark, direi che lo sappiamo risolvere. Laughing Arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

La difficoltà del problema riguarda la scelta dei nomi dei vertici e degli angoli, per cui fa molta attenzione nel fare il disegno e nello scrivere le lettere al posto giusto.Wink

Chiamiamo A,B gli estremi del segmento (prendiamolo orizzontale), tracciamo due rette parallele passanti per A,B e chiamiamo A_1,B_1 i due angoli che le rette parallele formano al di sopra del segmento, mentre chiamiamo A_2,B_2 i due angoli che le rette parallele formano al di sotto del segmento.

Chiamiamo C,D, rispettivamente, i punti di incontro delle bisettrici al di sopra del segmento (C) e al di sotto del segmento (D).

Sappiamo che A_1 = B_2 e A_2 = B_1, in quanto angoli alterni interni (rette parallele tagliate da una trasversale). Dato che le bisettrici tagliano per definizione a metà gli angoli dei vertici dai quali sono condotte, si vede subito che coincidono gli angoli

CAB = ABD

CBA = BAD

In particolare coincidono

CAD = CBD

poiché CAD = CAB+BAD = CBA+ABD = CBD

Consideriamo i triangoli ACB,ADB, che sono congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli: hanno congruenti un lato, AB, e i due angoli agli estremi di tale lato. 

Segue che sono congruenti gli angoli

ACB = ADB

Dato che un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le coppie di angoli interni e opposti sono congruenti, concludiamo che ACBD è un parallelogramma. 

Noi vogliamo però dimostrare che è un rettangolo: è sufficiente osservare che

2CAB+2CBA = 180^(o)

quindi

CAB+CBA = 90^(o)

e quindi, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi pari a 180^(o)

ACB = 180^(o)−CAB−CBA = 180^(o)−90^(o) = 90^(o)

Gli angoli interni del parallelogramma misurano tutti necessariamente 90^(o): ricordando la definizione di rettangolo, concludiamo che esso è effettivamente un rettangolo.

Otteniamo un quadrato se e solo se le due rette parallele sono perpendicolari al segmento AB.

Namasté!

Risposta di Omega

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