Dimostrazione sul rettangolo

La difficoltà del problema riguarda la scelta dei nomi dei vertici e degli angoli, per cui fa molta attenzione nel fare il disegno e nello scrivere le lettere al posto giusto.

Chiamiamo gli estremi del segmento (prendiamolo orizzontale), tracciamo due rette parallele passanti per e chiamiamo i due angoli che le rette parallele formano al di sopra del segmento, mentre chiamiamo i due angoli che le rette parallele formano al di sotto del segmento.

Chiamiamo , rispettivamente, i punti di incontro delle bisettrici al di sopra del segmento () e al di sotto del segmento ().

Sappiamo che e , in quanto angoli alterni interni (rette parallele tagliate da una trasversale). Dato che le bisettrici tagliano per definizione a metà gli angoli dei vertici dai quali sono condotte, si vede subito che coincidono gli angoli

In particolare coincidono

poiché

Consideriamo i triangoli , che sono congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli: hanno congruenti un lato, , e i due angoli agli estremi di tale lato. 

Segue che sono congruenti gli angoli

Dato che un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le coppie di angoli interni e opposti sono congruenti, concludiamo che è un parallelogramma. 

Noi vogliamo però dimostrare che è un rettangolo: è sufficiente osservare che

quindi

e quindi, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi pari a

Gli angoli interni del parallelogramma misurano tutti necessariamente : ricordando la definizione di rettangolo, concludiamo che esso è effettivamente un rettangolo.

Otteniamo un quadrato se e solo se le due rette parallele sono perpendicolari al segmento .

Namasté!