Soluzioni
  • Ciao Mark, direi che lo sappiamo risolvere. Laughing Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La difficoltà del problema riguarda la scelta dei nomi dei vertici e degli angoli, per cui fa molta attenzione nel fare il disegno e nello scrivere le lettere al posto giusto.Wink

    Chiamiamo A,B gli estremi del segmento (prendiamolo orizzontale), tracciamo due rette parallele passanti per A,B e chiamiamo A_1,B_1 i due angoli che le rette parallele formano al di sopra del segmento, mentre chiamiamo A_2,B_2 i due angoli che le rette parallele formano al di sotto del segmento.

    Chiamiamo C,D, rispettivamente, i punti di incontro delle bisettrici al di sopra del segmento (C) e al di sotto del segmento (D).

    Sappiamo che A_1=B_2 e A_2=B_1, in quanto angoli alterni interni (rette parallele tagliate da una trasversale). Dato che le bisettrici tagliano per definizione a metà gli angoli dei vertici dai quali sono condotte, si vede subito che coincidono gli angoli

    CAB=ABD

    CBA=BAD

    In particolare coincidono

    CAD=CBD

    poiché CAD=CAB+BAD=CBA+ABD=CBD

    Consideriamo i triangoli ACB,ADB, che sono congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli: hanno congruenti un lato, AB, e i due angoli agli estremi di tale lato. 

    Segue che sono congruenti gli angoli

    ACB=ADB

    Dato che un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le coppie di angoli interni e opposti sono congruenti, concludiamo che ACBD è un parallelogramma. 

    Noi vogliamo però dimostrare che è un rettangolo: è sufficiente osservare che

    2CAB+2CBA=180^{o}

    quindi

    CAB+CBA=90^{o}

    e quindi, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi pari a 180^{o}

    ACB=180^{o}-CAB-CBA=180^{o}-90^{o}=90^{o}

    Gli angoli interni del parallelogramma misurano tutti necessariamente 90^{o}: ricordando la definizione di rettangolo, concludiamo che esso è effettivamente un rettangolo.

    Otteniamo un quadrato se e solo se le due rette parallele sono perpendicolari al segmento AB.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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