Dimostrazione sul rettangolo
Salve! Mi spieghereste come fare la dimostrazione in questo esercizio sul rettangolo?
Dagli estremi di un segmento AB traccia due rette parallele a e b e quindi traccia le bisettrici dei quattro angoli che tale segmento forma con a e b. Detti P e Q i punti di intersezione di tali bisettrici, dimostra che APBQ è un rettangolo e che il segmento PQ è parallelo alle rette a e b. In quale caso APBQ è un quadrato?
Grazie in anticipo. :)
Ciao Mark, direi che lo sappiamo risolvere. Arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
La difficoltà del problema riguarda la scelta dei nomi dei vertici e degli angoli, per cui fa molta attenzione nel fare il disegno e nello scrivere le lettere al posto giusto.
Chiamiamo gli estremi del segmento (prendiamolo orizzontale), tracciamo due rette parallele passanti per
e chiamiamo
i due angoli che le rette parallele formano al di sopra del segmento, mentre chiamiamo
i due angoli che le rette parallele formano al di sotto del segmento.
Chiamiamo , rispettivamente, i punti di incontro delle bisettrici al di sopra del segmento (
) e al di sotto del segmento (
).
Sappiamo che e
, in quanto angoli alterni interni (rette parallele tagliate da una trasversale). Dato che le bisettrici tagliano per definizione a metà gli angoli dei vertici dai quali sono condotte, si vede subito che coincidono gli angoli
In particolare coincidono
poiché
Consideriamo i triangoli , che sono congruenti per il secondo criterio di congruenza tra triangoli: hanno congruenti un lato,
, e i due angoli agli estremi di tale lato.
Segue che sono congruenti gli angoli
Dato che un quadrilatero è un parallelogramma se e solo se le coppie di angoli interni e opposti sono congruenti, concludiamo che è un parallelogramma.
Noi vogliamo però dimostrare che è un rettangolo: è sufficiente osservare che
quindi
e quindi, essendo la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi pari a
Gli angoli interni del parallelogramma misurano tutti necessariamente : ricordando la definizione di rettangolo, concludiamo che esso è effettivamente un rettangolo.
Otteniamo un quadrato se e solo se le due rette parallele sono perpendicolari al segmento .
Namasté!
Risposta di Omega