Soluzioni
  • Ciao slashrock93 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Vediamo:

    L'integrale è:

    \int \ln\left(\frac{x-6}{2-x}\right)dx

    Procediamo integrando per parti, scegliendo come fattore finito:

    f(x)= \ln\frac{x-6}{2-x}\implies f'(x)= \frac{1}{\frac{x-6}{2-x}}\cdot \frac{-4}{(x-2)^2}=\frac{4}{x^2-8x+12}

    e come fattore differenziale:

    g'(x)=1\implies g(x)=x

    Utilizzando la formula di integrazione per parti otteniamo:

    \int \ln\left(\frac{x-6}{2-x}\right)dx=

    =x\ln\left(\frac{x-6}{2-x}\right)-\int \frac{4x}{x^2-8x+12}

    Rimane da risolvere l'integrale:

    \int\frac{4x}{x^2-8x+12}

    Procediamo con il metodo dei fratti semplici. Osserva che il denominatore si fattorizza come:

    x^2-8x+12= (x-2)(x-6)

    conseguentemente dobbiamo determinare A e B reali tali che:

    \frac{4x}{x^2-8x+12}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-6}

    minimo comune multiplo:

    \frac{4x}{x^2-8x+12}=\frac{A(x-6)+B(x-2)}{(x-6)(x-2)}

    il denominatore non serve più perché uguale membro a membro:

    4x= Ax-6A+Bx-2B\iff 4x=(A+B )x-6A-2B

    per il principio di identità dei polinomi abbiamo:

    \begin{cases}A+B= 4\\ -6A-2B=0\end{cases}

    Da cui otteniamo le soluzioni 

    A=-2, B=-6

    Quindi la funzione integranda si riscrive come:

    \frac{4x}{x^2-8x+12}= -\frac{2}{x-2}+\frac{6}{x-6}

    Quindi 

    \int\frac{4x}{x^2-8x+12}=\int -\frac{2}{x-2}+\frac{6}{x-6}dx=

    = -2\ln|x-2|+6\ln|x-6|+c

    In definitiva abbiamo che:

    \int \ln\left(\frac{x-6}{2-x}\right)dx= x\ln\left(\frac{x-6}{2-x}\right)-(-2\ln|x-2|+6\ln|x-6|)+c=

    = x\ln\left(\frac{x-6}{2-x}\right)+2\ln|x-2|-6\ln|x-6|)+c

    Se hai dubbi chiedi tranquillamente :P

    Risposta di Ifrit
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