Esercizio sullo studio di un'equazione letterale di secondo grado

Per poter risolvere l'esercizio occorre conoscere la teoria delle equazioni parametriche di secondo grado: in particolare bisogna tenere a mente le relazioni che intercorrono tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici.

Consideriamo l'equazione

e indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , il coefficiente di e il termine noto:

Innanzitutto dobbiamo richiedere che sia diverso da zero per far sì che l'equazione sia effettivamente di secondo grado

Affinché le soluzioni siano effettivamente due numeri reali, bisogna imporre la cosiddetta condizione di realtà, richiedendo che il discriminante associato sia maggiore o al più uguale a zero.

Calcoliamo il delta con la formula:

e imponiamo la sua non negatività impostando la disequazione di primo grado:

Teniamo da parte questa informazione e dedichiamoci all'altra condizione: dobbiamo richiedere che il prodotto delle due radici sia minore o al più uguale a quattro:

Qui interviene la regola secondo cui il prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado coincide con il rapporto tra il termine noto e il coefficiente di , vale a dire:

Questa relazione consente di tradurre la relazione

nella disequazione fratta

Esprimiamo a denominatore comune i termini e scriviamo la disequazione in forma normale

Per risolverla, studiamo i segni del numeratore e del denominatore separatamente

Dopo aver rappresentato la tabella dei segni, consideriamo esclusivamente i valori di in cui il quoziente risulti negativo o al più nullo, cioè:

Questo vincolo deve essere intersecato con la condizione di realtà, ossia , ossia deve sussistere il sistema di disequazioni

che risolto fornisce l'insieme in cui deve variare affinché vengano soddisfatte le condizioni date.

Ecco fatto!