Equazioni parametriche

Ciao a tutti :) mi aiutate con questa equazione parametrica? Devo determinare i valori del parametro k affinché l'equazione

 

(3k-1)x^2-2x+1=0

 

abbia due soluzioni (distinte e coincidenti) x1 e x2 tali che x_1x_2\leq 4.

In Superiori - Algebra - Domanda di marklycons

Soluzioni

  • Ciao Mark, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • L'equazione di secondo grado parametrica

    (3k-1)x^2-2x+1=0

    ammette una, due o nessuna soluzione a seconda del segno del suo discriminante (delta), come spiegato  in questo articolo sulle equazioni di secondo grado.

    Innanzitutto per far sì che l'equazione sia effettivamente di secondo grado dobbiamo richiedere che

    3k-1\neq 0\to k\neq \frac{1}{3}

    altrimenti il coefficiente del termine di secondo grado si annulla.

    Calcoliamo il \Delta

    \Delta=b^2-4ac=4-4(3k-1)=4-12k+4=-12k+8

    Per avere due soluzioni distinte, dobbiamo richiedere che

    \Delta>0

    quindi

    -12k+8>0\to k<\frac{2}{3}

    condizione alla quale va aggiunta

    k\neq \frac{1}{3}

    Le soluzioni x_1,x_2 in tale eventualità esistono distinte e sono date da

    x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2\pm\sqrt{-12k+8}}{2(3k-1)}

    Per avere due soluzioni coincidenti bisogna richiedere che

    k=\frac{2}{3}

    mentre se

    k=\frac{1}{3}

    l'equazione parametrica si riduce ad un'equazione di primo grado.

    Per il resto, nell'ipotesi \Delta>0 ossia k\textless 2/3 abbiamo due soluzioni distinte. Puoi prendere le due espressioni parametriche delle soluzioni e risolvere la disequazione

    x_1\cdot x_2\leq 4

    è molto più semplice di quanto tu possa immaginare. In caso di difficoltà fammi sapere. ;)

    ---

    Ti lascio i link di un po' di esercizi simili che abbiamo svolto: prova a dare un'occhiata, per citarne alcuni, a questi

    Esempio 1 | Esempio 2 | Esempio 3 | Esempio 4 | Esempio 5

    Mentre, già che siamo in tema, qui trovi il metodo di risoluzione per le equazioni parametriche di primo grado

    Namasté!

    Risposta di Omega
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