Soluzioni
  • Per poter risolvere l'esercizio occorre conoscere la teoria delle equazioni parametriche di secondo grado: in particolare bisogna tenere a mente le relazioni che intercorrono tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici.

    Consideriamo l'equazione

    (3k-1)x^2-2x+1 = 0

    e indichiamo con a, b e c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto:

    a = 3k-1 , b = -2 , c = 1

    Innanzitutto dobbiamo richiedere che a sia diverso da zero per far sì che l'equazione sia effettivamente di secondo grado

    a ne 0 → 3k-1 ne 0 → k ne(1)/(3)

    Affinché le soluzioni siano effettivamente due numeri reali, bisogna imporre la cosiddetta condizione di realtà, richiedendo che il discriminante associato sia maggiore o al più uguale a zero.

    Calcoliamo il delta con la formula:

    Δ = b^2-4ac = (-2)^2-4·(3k-1)·1 = 8-12k

    e imponiamo la sua non negatività impostando la disequazione di primo grado:

    Δ ≥ 0 → 8-12k ≥ 0 → k ≤ (2)/(3)

    Teniamo da parte questa informazione e dedichiamoci all'altra condizione: dobbiamo richiedere che il prodotto delle due radici sia minore o al più uguale a quattro:

    x_(1)·x_(2) ≤ 4

    Qui interviene la regola secondo cui il prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado coincide con il rapporto tra il termine noto e il coefficiente di x^2, vale a dire:

    x_(1)·x_(2) = (c)/(a) = (1)/(3k-1)

    Questa relazione consente di tradurre la relazione

    x_(1)·x_2 ≤ 4

    nella disequazione fratta

    (1)/(3k-1) ≤ 4 → (1)/(3k-1)-4 ≤ 0

    Esprimiamo a denominatore comune i termini e scriviamo la disequazione in forma normale

    (1-12k+4)/(3k-1) ≤ 0 → (5-12k)/(3k-1) ≤ 0

    Per risolverla, studiamo i segni del numeratore e del denominatore separatamente

     N ≥ 0 : 5-12k ≥ 0 → k ≤ (5)/(12) ; D > 0 : 3k-1 > 0 → k > (1)/(3)

    Dopo aver rappresentato la tabella dei segni, consideriamo esclusivamente i valori di k in cui il quoziente risulti negativo o al più nullo, cioè:

    k < (1)/(3) ∨ k ≥ (5)/(12)

    Questo vincolo deve essere intersecato con la condizione di realtà, ossia k ≤ (2)/(3), ossia deve sussistere il sistema di disequazioni

    k < (1)/(3) ∨ k ≥ (5)/(12) ; k ≤ (2)/(3)

    che risolto fornisce l'insieme in cui deve variare k affinché vengano soddisfatte le condizioni date.

    k < (1)/(3) ∨ (5)/(12) ≤ k ≤ (2)/(3)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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