Esercizio sullo studio di un'equazione letterale di secondo grado

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Mi servirebbe una mano per risolvere un problema sulle equazioni parametriche di secondo grado. Dovrei determinare i valori del parametro k affinché le soluzioni dell'equazione data rispettino delle condizioni e non ho idea di come procedere.

 

Determinare i valori del parametro k in modo tale che l'equazione

 

(3k-1)x^2-2x+1=0

 

abbia due soluzioni reali x_{1}\ \mbox{e} \ x_2 e tali che x_{1}\cdot x_2\le 4.

 

Grazie.

Domanda di marklycons

 
Soluzioni

  • Per poter risolvere l'esercizio occorre conoscere la teoria delle equazioni parametriche di secondo grado: in particolare bisogna tenere a mente le relazioni che intercorrono tra i coefficienti dell'equazione e le sue radici.

    Consideriamo l'equazione

    (3k-1)x^2-2x+1=0

    e indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, il coefficiente di x e il termine noto:

    a=3k-1 \ \ \ , \ \ \ b=-2 \ \ \ , \ \ \ c=1

    Innanzitutto dobbiamo richiedere che a sia diverso da zero per far sì che l'equazione sia effettivamente di secondo grado

    a\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 3k-1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ne\frac{1}{3}

    Affinché le soluzioni siano effettivamente due numeri reali, bisogna imporre la cosiddetta condizione di realtà, richiedendo che il discriminante associato sia maggiore o al più uguale a zero.

    Calcoliamo il delta con la formula:

    \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot (3k-1)\cdot 1=8-12k

    e imponiamo la sua non negatività impostando la disequazione di primo grado:

    \Delta\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ 8-12k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\le\frac{2}{3}

    Teniamo da parte questa informazione e dedichiamoci all'altra condizione: dobbiamo richiedere che il prodotto delle due radici sia minore o al più uguale a quattro:

    x_{1}\cdot x_{2}\le 4

    Qui interviene la regola secondo cui il prodotto delle soluzioni di un'equazione di secondo grado coincide con il rapporto tra il termine noto e il coefficiente di x^2, vale a dire:

    x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{3k-1}

    Questa relazione consente di tradurre la relazione

    x_{1}\cdot x_2\le 4

    nella disequazione fratta

    \frac{1}{3k-1}\le 4 \ \ \ \to \ \ \ \frac{1}{3k-1}-4\le 0

    Esprimiamo a denominatore comune i termini e scriviamo la disequazione in forma normale

    \frac{1-12k+4}{3k-1}\le 0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{5-12k}{3k-1}\le 0

    Per risolverla, studiamo i segni del numeratore e del denominatore separatamente

    \\ N\ge 0 \ : \ 5-12k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\le \frac{5}{12} \\ \\ D>0 \ : \ 3k-1>0 \ \ \ \to \ \ \ k>\frac{1}{3}

    Dopo aver rappresentato la tabella dei segni, consideriamo esclusivamente i valori di k in cui il quoziente risulti negativo o al più nullo, cioè:

    k<\frac{1}{3} \ \ \ \vee \ \ \ k\ge\frac{5}{12}

    Questo vincolo deve essere intersecato con la condizione di realtà, ossia k\le\frac{2}{3}, ossia deve sussistere il sistema di disequazioni

    \begin{cases}k<\dfrac{1}{3} \ \ \ \vee \ \ \ k\ge\dfrac{5}{12}\\ \\ \\ k\le\dfrac{2}{3}\end{cases}

    che risolto fornisce l'insieme in cui deve variare k affinché vengano soddisfatte le condizioni date.

    k<\frac{1}{3}\ \ \ \vee \ \ \ \frac{5}{12}\le k \le \frac{2}{3}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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